hdu3507,斜率优化dp

斜率优化(dp)入门题。

(ProblemLink)

先从(n^2)的(dp)开始

设(S_i=sum_{i=1}^n a_i)

(f_i)为输出前(i)个的最小代价。

显然有(f_i=min(f_j+(S_i-S_j)^2+M)(j<k))

考虑对于点i。j比k((j>k))更优当且仅当

(f_j+(S_i-S_j)^2<f_k+(S_i-S_k)^2)

(f_j+S_j^2-2S_iS_j<f_k+S_k^2-2S_iS_k)

((f_j+S_j^2)-(f_k+S_k^2)<2Si(S_j-S_k))

即(huge frac {(f_j+S_j^2)-(f_k+S_k^2)}{(S_j-S_k)}<2Si)

不妨设左式为(P(j,k))

也就是说

如果(P(j,k)<2Si)，那么(j)就比(k)更优。

我们发现如果把(f_i+S_i^2)这个东西看做(y),(S_i)看做(x)

式子就变成了这样

(huge frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}<2Si)

于是我们可以把每个决策点想象一个在二维平面直角坐标系上的点((x),(y))。

这有什么用呢？

我们发现，对于(i)来说,最优的决策就是那个斜率最小的点。

我们就可以维护一个斜率递增的下凸壳，每次加入时更新。

因为这里(Si)是单调递增的，用单调队列就可以维护了。

否则就在凸壳上二分，找到小于(2Si)的最近的点。

/*
@Date    : 2019-07-31 08:27:46
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*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
#define RG register
#define gi getint()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
IL int getint()
{
	RG int xi=0;
	RG char ch=gc;
	bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
	while(ch>='0'&&ch<='9')xi=(xi<<1)+(xi<<3)+ch-48,ch=gc;
	return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
	if(k<0)k=-k,putchar('-');
	if(k>=10)pi(k/10,0);
	putchar(k%10+'0');
	if(ch)putchar(ch);
}
const int N=5e5+7;
int s[N];
int f[N];
inline int sqr(int i){return i*i;}
inline double X(int j,int k)
{
	return (f[j]+sqr(s[j])-f[k]-sqr(s[k]));
}
inline double Y(int j,int k)
{
	return (s[j]-s[k]);
}
int main(void)
{
	int n,m;
	while(cin>>n>>m)
	{
		s[0]=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=gi;
		for(int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
		int l=1,r=0;
		static int Q[N*2];
		Q[++r]=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			while(l<r&&X(Q[l+1],Q[l])<=2*s[i]*Y(Q[l+1],Q[l]))++l;
			f[i]=f[Q[l]]+sqr(s[i]-s[Q[l]])+m;
			while(l<r&&X(i,Q[r])*Y(Q[r],Q[r-1])<=X(Q[r],Q[r-1])*Y(i,Q[r]))--r;
			Q[++r]=i;
		}
		cout<<f[n]<<endl;
	}
	return 0;
}