莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

前言

这玩意无疑是高等数论Oier的必学玩意

身为一名准退役选手，数论一直不行，现在来亡羊补牢。。。似乎已经晚了

(latex)根本不会用qwq

感谢大佬的文章，写的很好。自己太菜

若有错误，欢迎指出

正文

• 莫比乌斯函数(mu)

  这是反演的基础，本质上是容斥系数的函数。(不理解可以看gzy大佬的blog，但大佬的文章太强，蒟蒻看不懂啊)

  设(d=Pi_{i=1}^{k}p_i^{a_i})

  (mu(d)=left{egin{matrix} 1& d=1 \(-1)^k& max(a_i) =1 \ 0 & otherwise end{matrix} ight.)

• (mu)的一些性质

  1.对于任意(nin N^+)有(sum_ ext{d|n} mu(d) = [n=1])

  证明

  当(n=1)时，(mu(1)=1)

  当(ngeq2)时

  设(n=Pi_{i=1}^k {p_i}^{a_i})

  (a_igeq2)不用管就是0啦

  于是我们就是在(k)个质因数中选择(i)个组成(d)

  对于(i)为奇数时的贡献是(-1)

  对于(i)为偶数时的贡献是(1)

  即(sum_{i=0}^{k} inom{k}{i}(-1)^i)=(sum_{i=0}^kinom ki(-1)^i1^{k-i})=((-1+1)^k)=(0)

  证毕

  2.对于任意(nin N^+)有(sum_ ext{d|n}frac{mu(d)}d=frac{phi(n)}n)

  证明不会略

  3.对于任意质数(p)有(mu(p)=-1)

  由定义 (mu(p)=(-1)^1=-1)

• 关于(mu)的求解

  因为(mu)是个积性函数,所以我们可以方便的用线性筛求解

  线性筛什么的，以后可能会填一填坑

  放一下代码

  int mu[N],pri[N],tot;
  bool npr[N];
  void getmu(int n)
  {
      memset(npr,0,sizeof npr);
      tot=0,mu[1]=1;
      for(int i=2;i<=n;++i)
      {
          if(!npr[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
          for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
          {
              npr[pri[j]*i]=1;
              if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
              else break;
          }
      }
  }
  

• 莫比乌斯反演

  这里是重点了qwq

  反演的用处在于有一个好求的函数(F(n)),通过它来求关于其约数或倍数(d)的函数(f(d))

  反演有两种形式

  1.约数形式

  (F(n) = sum_{d|n} f(d) ightarrow f(n)=sum_{d|n} mu(frac nd)F(d))

  2.倍数形式

  (F(n) = sum_{n|d} f(d) ightarrow f(n)=sum_{n|d} mu(frac dn)F(d))

• 例题

  常见的应用求(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1])

  洛谷P2257 yy的gcd