[ egin{aligned}
prod_{i=1}^{k} frac{1}{1-
ho_ix}&=sum_{i=1}^{k}frac{a_i}{1-
ho_ix}\
1&=sum_{i=1}^{k}a_iprod_{j
e i}(1-
ho_jx)
end{aligned}]
将 $ x = frac{1}{ ho_n} $ 代入
[egin{aligned}
1 &= a_nprod_{j
e n}(1-frac{
ho_j}{
ho_n})\
a_n &= frac{1}{prod_{j
e n}(1-frac{
ho_j}{
ho_n})}\
&= frac{
ho_n^{k-1}}{prod_{j
e n}(
ho_n-
ho_j)}
end{aligned}
]
代入原式
[egin{aligned}
[x^n]prod_{i=1}^{k}frac{1}{1-
ho_ix}&=sum_{i=1}^{k}a_i
ho_i^n\
&= sum_{i=1}^{k}frac{
ho_i^{n+k-1}}{prod_{j
e i}(
ho_i-
ho_j)}
end{aligned}
]
考虑 $ B $ 这个数经过 $ m $ 轮变成 $ A $ 的概率
[[x^{m-1}]frac{1}{B+1}prod_{i=A}^{B}frac{1}{1-frac{1}{i+1}x}
]
[egin{aligned}
&= frac{1}{B+1} sum_{i=A}^{B}frac{(frac{1}{i+1})^{m+B-A-1}}{prod_{j
e i}(frac{1}{i+1}-frac{1}{j+1})}\
&= frac{1}{B+1} sum_{i=A}^{B}frac{(frac{1}{i+1})^{m+B-A-1}}{prod_{j
e i}(frac{j-i}{(i+1)(j+1)})}\
&= frac{1}{B+1} sum_{i=A}^{B}frac{(frac{1}{i+1})^{m-1}}{prod_{j
e i}(frac{j-i}{j+1})}\
&= frac{1}{B+1} frac{(B+1)!}{A!}sum_{i=A}^{B}frac{1}{i+1}frac{(frac{1}{i+1})^{m-1}}{prod_{j
e i}(j-i)}\
&= frac{B!}{A!}sum_{i=A}^{B}frac{(frac{1}{i+1})^m}{(i-A)!cdot-1^{i-A}cdot(B-i)!}
end{aligned}
]
最终变为 A 这个数的概率是
[sum_{B=A}^{n} frac{B!}{A!} p_{B} sum_{i=A}^{B}frac{(frac{1}{i+1})^m}{(i-A)!cdot-1^{i-A}cdot(B-i)!}
]
发现直接算不好算，我们先计算 B 到 $ i $ 的贡献，再把贡献算到 A 上
[frac{1}{A!}sum_{B=A}^{n} B! cdot p_{B} sum_{i=A}^{B} (frac{1}{i+1})^mcdotfrac{1}{(i-A)!cdot-1^{i-A}}cdotfrac{1}{(B-i)!}
]
定义 $ f_i $ 表示 $ i $ 之后所有的 B 对 $ i $ 的贡献，可以得到
[f_i = left(frac{1}{i+1}
ight)^msum_{B=i}^{n} B!cdot p_B frac{1}{(B-i)!}
]
容易发现这是卷积的形式，然后就可以轻松得出变成 A 的概率
[ans_A = frac{1}{A!} sum_{i=A}^{n} frac{1}{(i-A)!cdot -1^{i-A}}
]
仍然是卷积的形式