NewTrain1 T8: [NOI2010]海拔

题目分析

（By duyi）

由于下坡不会增加体力值，而上坡会减小体力值，因此总体来说坡度对我们是不利的，我们要让坡度越少越好。考虑如果整张图都是0，那么大家总的耗费的体力值就是0，由于体力值不为负，此时必然达到最小值。然而本题中强制要求右下角是1，因此我们想到最终构出的图必定是左上角一堆0，右下角一堆1（这样能使相同高度的点最多，要爬的坡最少）。我们要考虑的就是以那一条线作为0和1的分界线。

继续分析问题：这张图原本是连通的，我们要使这张图分为0和1两个部分。每个部分内部不产生代价，两个部分分界处会产生代价。要使代价最小。不难看出，这是一个最小割的模型。

我们知道，最小割=最大流。然而，直接上Dinic算法对于500*500的数据数据是会TLE滴。

由于原图是平面图，所以任意一条边左右都有两个封闭区域，在对偶图中一定有一条边，所以原图中的边一定在对偶图中有一条对应的边

如果我们给原平面图加上源点和汇点，那么原图的最大流就是其对偶图源点到汇点的最短路。

#include<bits/stdc++.h>
#define INTMAX 2147483647LL
#define PII pair<int,int>
#define MK make_pair
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;
const double Pi=acos(-1.0);
const int Inf=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=505;
inline int read(){
    re int x=0,f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f=ch=='-'?-1:1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
inline ll readll(){
    re ll x=0,f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f=ch=='-'?-1:1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}

struct Edge{
    int to,nxt,cap;
}e[MAXN*MAXN<<2];
int head[MAXN*MAXN],cnt;
inline void add_edge(int u,int v,int cap){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];e[cnt].cap=cap;head[u]=cnt;
}

int n,S,T;
int dis[MAXN*MAXN];
struct RULE{
    bool operator()(int &x,int &y)const{
        return dis[x]>dis[y];
    }
};
inline void Dijkstra(){
    priority_queue<int,vector<int>,RULE> q;
    memset(dis,Inf,sizeof(dis));
    dis[S]=0;q.push(S);
    while(!q.empty()){
        int x=q.top();q.pop();
        for(int i=head[x],y;i;i=e[i].nxt){
            y=e[i].to;
            if(dis[x]+e[i].cap<dis[y]){
                dis[y]=dis[x]+e[i].cap;
                q.push(y);
            }
        }
    }
}
int main(){
    n=read();
    S=1;T=n*n+2;
    for(int i=0,x;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j){
            x=read();
            if(i==0) add_edge(1+j,T,x);
            else if(i==n) add_edge(S,1+(i-1)*n+j,x);
            else add_edge(1+i*n+j,1+(i-1)*n+j,x);
        }
    for(int i=1,x;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<=n;++j){
            x=read();
            if(j==0) add_edge(S,1+(i-1)*n+1,x);
            else if(j==n) add_edge(1+i*n,T,x);
            else add_edge(1+(i-1)*n+j,1+(i-1)*n+j+1,x);
        }
    for(int i=0,x;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            x=read();
            if(i==0) add_edge(T,1+j,x);
            else if(i==n) add_edge(1+(i-1)*n+j,S,x);
            else add_edge(1+(i-1)*n+j,1+i*n+j,x);
        }
    }
    for(int i=1,x;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=n;++j){
            x=read();
            if(j==0) add_edge(1+(i-1)*n+1,S,x);
            else if(j==n) add_edge(T,1+i*n,x);
            else add_edge(1+(i-1)*n+j+1,1+(i-1)*n+j,x);
        }
    }
    Dijkstra();
    printf("%d
",dis[T]);
    return 0;
}