USACO 2015 US OPEN Gold T2: Palindromic Paths

题目大意

农夫FJ的农场是一个N*N的正方形矩阵（1≤N≤500），每一块用一个字母作标记。比如说：

　　　　　　　　　　ABCD

　　　　　　　　　　BXZX

　　　　　　　　　　CDXB

　　　　　　　　　　WCBA

某一天，FJ从农场的左上角走到右下角，当然啦，每次他只能往右或者往下走一格。FJ把他走过的路径记录下来。现在，请你把他统计一下，所有路径中，回文串的数量（从前往后读和从后往前读一模一样的字符串称为回文串）。

题目分析

因为每次只能横纵走一格，所以无论怎么走，必然会经过从左下到右上的对角线上的某个元素。而题目让我们求的是回文串，所以可以考虑Meet In The Middle。

从左上和右下开始走，设DP[i][j][k]表示 走了i步 ，左上的点纵坐标为j，右下的点纵坐标为k。

不难得出转移方程为  当 a[j][i+2-j] == a[k][n*2-i-k] （初始坐标为1,1 ，所以要+2）时 f[i][j][k] = f[i-1][j][k] + f[i-1][j-1][k] +f[i-1][j][k+1] + f[i-1][j-1][k+1]，否则 f[i][j][k] = 0。

因为n=500 而 500^3=1,2500,0000 爆空间，所以我们把第一维 i 压掉, 因为每次转移只会用到 j , j-1 , k , k+1，逆序枚举j、正序枚举k即可避免覆盖还未转移的状态。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll Mod=1e9+7;
const int MAXN=505;

int n;
char a[MAXN][MAXN];
ll f[MAXN][MAXN],ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            cin>>a[i][j];
    if(a[1][1]!=a[n][n]){
        printf("0
");
        return 0;
    }
    f[1][n]=1;
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
        for(int j=i+1;j>=1;--j)
            for(int k=n-i;k<=n;++k){
                if(a[j][i+2-j]==a[k][n*2-i-k])
                    f[j][k]=(f[j][k]+f[j-1][k]+f[j][k+1]+f[j-1][k+1])%Mod;
                else
                    f[j][k]=0;
            }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=(ans+f[i][i])%Mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}