参考资料
http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/04/16/2017737.html
http://blog.csdn.net/liwen_7/article/details/7298736
http://blog.csdn.net/z690933166/article/details/8579260
二、拓扑排序
1、概念
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。
注意:
1)只有有向无环图才存在拓扑序列;
2)对于一个DAG,可能存在多个拓扑序列;
如:
该DAG的拓扑序列为A B C D或者A C B D
而此有向图是不存在拓扑序列的，因为图中存在环路
2、求拓扑排序算法
无前趋的顶点优先的拓扑排序方法
该方法的每一步总是输出当前无前趋(即人度为零)的顶点，其抽象算法可描述为：
NonPreFirstTopSort(G){//优先输出无前趋的顶点
while(G中有入度为0的顶点)do{
从G中选择一个入度为0的顶点v且输出之；
从G中删去v及其所有出边；
}
if(输出的顶点数目<|V(G)|)
//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
Error("G中存在有向环，排序失败！")；
}
注意：
无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在具体存储结构下，为便于考察每个顶点的入度，可保存各顶点当前的入度。为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点：
在开始排序前，扫描对应的存储空间，将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选人度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。
无后继的顶点优先拓扑排序方法
1、思想方法
该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。若T是栈，则每当输出顶点时，只需做入栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。
2、抽象算法描述
算法的抽象描述为：
NonSuccFirstTopSort(G){//优先输出无后继的顶点
while(G中有出度为0的顶点)do {
从G中选一出度为0的顶点v且输出v；
从G中删去v及v的所有人边
}
if(输出的顶点数目<|V(G)|)
Error("G中存在有向环，排序失败!")；
}
3、算法求精
在对该算法求精时，可用逆邻接表作为G的存储结构。设置一个向量outdegree[0..n-1]或在逆邻接表的顶点表结点中增加1个出度域来保存各顶点当前的出度；设置一个栈或队列来暂存所有出度为零的顶点。除了增加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外，该算法完全类似于NonPreFirstTopSort。
三、AOE网的关键路径
AOE网：
如果在有向图中用顶点表示事件，用弧表示活动，用弧上的权表示活动持续时间，称该带权有向图(即有向网)为边表示活动的网(activity on edge network),简称AOE网。
在AOE网中，只有一个顶点代表的事件发生后，从该顶点出发的各个弧所代表的活动才能开始，只有以弧头关联一个顶点的各个弧所代表的活动都已结束，该顶点所代表的事件才能发生。
由于在AOE网中某些活动可以并行进行，所以完成工程的最短时间是从源点到汇点路径的最大长度(指路径上各活动持续时间之和最大，而不是路径上弧的数目最多)。把从源点到汇点路径长度最大的路径称作关键路径(critical path),关键路径上的活动称作关键活动。关键活动的长度是整个工程的最短工期，加快关键活动的完成是加快工程进度缩短工期地关键。
事件Vi的最早发生时间：从V1到Vi的最长路径长度。
活动Ei的最迟开始时间：活动Ei最迟必须开始的时间。
求AOE网关键路径算法的步骤：
(1).输入e条弧<Vj,Vk>，建立AOE网的存储结构。
(2).从源点V1出发，令ve[1]=0;按拓扑有序序列次序求其余各顶点的最早发生时间ve[k](2<=k<=n)，ve[k]=max{ve[j]+dut(<Vj,Vk>)};如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点的个数n，说明网中存在环路，不能求关键路径算法终止，否则执行步骤(3).
(3).从汇点Vn出发,令vl[n]=ve[n],按逆拓扑有序序列求其余各顶点的最迟发生时间vl[k](n-1>=k>=1),vl[k]=min{vl[Vj]-dut(<Vk-Vj>)}。
(4).根据各顶点的ve值和vl值，求每条弧的最早开始时间e[s]和最迟开始时间l[s];e[s]等于弧s的弧尾顶点Vk的最早发生时间ve[k],而l[s]等于弧头顶点Vk的最迟发生时间减去弧s的权值；若某条弧s满足e[s]=l[s]则为关键活动，由所有关键活动构成的网的一条或几条关键路径。