欧拉函数

欧拉函数

φ(x): 小于等于x中与其互质的数的个数。

 

模板：

int get_phi(int x)
{
    int ret=1;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=x;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            ret*=prime[i]-1;x/=prime[i];
            while(x%prime[i]==0) x/=prime[i],ret*=prime[i];
        }
    }
    if(x>1) ret*=x-1;
    return ret;
}

 

性质：

1.  phi(p) == p-1 因为素数p除了1以外的因子只有p，所以与 p 互素的个数是 p - 1个

 

2. phi(p^k) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)

证明：

令n == p^k,小于 n 的正整数共有 p^k-1 个,其中与 p 不互素的个数共 p^(k-1)-1 个，它们是 1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p

所以phi(p^k) == (p^k-1) - (p^(k-1)-1) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)。

3. 如果i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i) （证明略）

举个例子：

假设 p = 3,i = 6,p * i = 18 = 2 * 3^2;

phi(3 * 6) == 18*(1-1/2)*(1-1/3) = 6

p * phi(i) = 3 * phi(6) = 3 * 6 * (1-1/2) *  (1-1/3) = 6 = phi(i * p) 正确

 

4. 如果i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) 

证明：

i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据积性函数的性质 phi(i * p) == phi(i) * phi(p) 其中phi(p) == p-1

所以 phi(i * p) == phi(i) * (p-1).

再举个例子：

假设i = 4, p = 3, i * p = 3 * 4 = 12

phi(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4

phi(i) * (p-1) = phi(4) * (3-1) = 4 * (1-1/2) * 2 = 4 = phi(i * p)正确

 

线筛欧拉函数模板：

void init()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!no[i]) pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*pri[j]>N) break;
            no[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=pri[j]*phi[i];break;}
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

 

 1.bzoj2190 仪仗队

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