• bzoj1705[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线(dp优化)


    1705: [Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线

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    Description

    最近,Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务 于是,她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上, 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。 电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同,那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然,你不能移动电话线杆, 只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费,尽管这项工作也需要支出一定的费用。 更准确地,如果他把一根电话线杆加高X米的话,他得为此付出X^2的费用。 请你帮Farmer John计算一下,如果合理地进行这两种工作,他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

    Input

    * 第1行: 2个用空格隔开的整数:N和C

    * 第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数:height_i

    Output

    * 第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

    Sample Input

    5 2
    2
    3
    5
    1
    4
    输入说明:
    一共有5根电话线杆,在杆间拉电话线的费用是每米高度差$2。
    在改造之前,电话线杆的高度依次为2,3,5,1,4米。


    Sample Output

    15
    输出说明:
    最好的改造方法是:Farmer John把第一根电话线杆加高1米,把第四根加高2米,
    使得它们的高度依次为3,3,5,3,4米。这样花在加高电线杆上的钱是$5。
    此时,拉电话线的费用为$2*(0+2+2+1) = $10,总花费为$15。
     
    /*
    f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c+(a[i]-j)*(a[i]-j))
    摘出与k无关项得
    f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) + (a[i]-j)*(a[i]-j)
    记P = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) , Q = (a[i]-j)*(a[i]-j)
    则f[i][j] = P + Q
    P = min(A,B),其中
    A = min(f[i-1][k]+(j-k)*c) (k<=j)
    B = min(f[i-1][k]+(k-j)*c) (k>j)
    A = min(f[i-1][k]-k*c) + j*c
    B = min(f[i-1][k]+k*c) - j*c
    记C[X][i] = min(f[X][k] - k*c)  k∈[1,i]
    记D[X][i] = min(f[X][k] + k*c)  k∈[i,n]
    则A = C[i-1][j] + j*c
    则B = D[i-1][j+1] - j*c
    显然C、D在任何时刻只需保存X=i-1一行的值
    注意高度只能增高,所以h[i]∈[a[i],100]
    利用辅助数组优化后,时间复杂度降为O(N*100)
    */
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define N 100010
    #define H 110
    #define inf 0x3f3f3f3f
    
    using namespace std;
    int n,c,h,P,Q,A,B;
    int a[N],C[H],D[H],f[N][H];
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&c);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        h=a[1];
        for(int i=1;i<=n;i++) h=max(h,a[i]);
        h=min(h,100);
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==1) 
              for(int j=a[i];j<=h;j++)
                f[1][j]=(j-a[1])*(j-a[1]);
            else
            {
                for(int j=a[i];j<=h;j++)
                {
                    Q=(j-a[i])*(j-a[i]);
                    A=C[j]+j*c;
                    B=D[j+1]-j*c;
                    P=min(A,B);
                    f[i][j]=P+Q;
                }
            }
            C[0]=D[h+1]=inf;
            for(int j=1;j<=h;j++) C[j]=min(C[j-1],f[i][j]-j*c);
            for(int j=h;j>=1;j--) D[j]=min(D[j+1],f[i][j]+j*c);
        }
        int ans=inf;
        for(int i=1;i<=h;i++) ans=min(ans,f[n][i]);
        printf("%d
    ",ans);
        return 0;
        return 0;
        return 0;
    }
    折花枝,恨花枝,准拟花开人共卮,开时人去时。 怕相思,已相思,轮到相思没处辞,眉间露一丝。
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