最长递增(上升)子序列问题:在一列数中寻找一些数,这些数满足:任意两个数a[i]和a[j],若i<j,必有a[i]<a[j],这样最长的子序列称为最长递增(上升)子序列。
考虑两个数a[x]和a[y],x>y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y],当a[t]要选择时,到底取哪一个构成最优的呢?显然选取a[x]更有潜力,因为可能存在a[x]<a[z]<a[y],这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示,当dp[x]一样时,尽量选择更小的a[x].
按dp[t]=k来分类,只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值,设d[k]记录这个值,d[k]=min{a[t](dp[t]=k)}。
这时注意到d的两个特点(重要):
1. d[k]在计算过程中单调不升;
2. d数组是有序的,d[1]<d[2]<..d[n]。
利用这两个性质,可以很方便的求解:
1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len(初始时为1),每次读入一个新元素x:
2. 若x>d[len],则直接加入到d的末尾,且len++;(利用性质2)
否则,在d中二分查找,找到第一个比x小的数d[k],并d[k+1]=x,在这里x<=d[k+1]一定成立(性质1,2)。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<stdio.h> #include<string.h> const int N=1111; int d[N]; int bs(int a[],int l,int r,int key) { while(l<r) { int mid=((l+r)&1)+(l+r)>>1; if(a[mid]<key) l=mid; else r=mid-1; } if(a[l]>=key) return l-1; return l; } int LIS(int a[],int n) { int i,tmp,len=1; d[1]=a[1]; for(i=2;i<=n;i++) { if(d[len]<a[i]) tmp=++len; else tmp=bs(d,1,len,a[i])+1; d[tmp]=a[i]; } return len; } int main() { int a[10]={-1,2,3,1,5,9,8}; int tmp=LIS(a,6); printf("%d ",tmp); for(int i=1;i<=tmp;i++) printf("%d ",d[i]); printf(" "); return 0; }
这种算法的时间复杂度是O(nlogn),但是稍微难写了一点。下面的是O(n^2),容易编写。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int LIS(int *a,int n) 2 { 3 int i,j,ans=-1; 4 memset(dp,0,sizeof(dp));dp[1]=1; 5 for(i=2;i<=n;i++) 6 { 7 for(j=1;j<i;j++) 8 { 9 if(a[i]>a[j]) 10 { 11 if(dp[j]+1>dp[i]) 12 dp[i]=dp[j]+1; 13 } 14 } 15 } 16 for(int i=1;i<=n;i++) 17 if(dp[i]>ans) 18 ans=dp[i]; 19 return ans; 20 }
参考文章:http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2012/11/30/195841.html