P2134 百日旅行 (斜率优化,DP)

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Solution

斜率优化(DP). 今天下午才打的第一道题 QwQ...
(90) 分很简单,一个简单的递推.
令 (f[i]) 为最后一天旅游的花费, (g[i]) 为最后一天吃饭的花费.
转移很简单:
(f_i=min(f_i,g_j+p*(i-j)^2);)
(g_i=min(g_i,f_j+q*(i-j));)
时间复杂度 (O(n^2)),然后看优化.

对于 (g[i]),可以直接从(1)到(i-1)记录一个 (Min(f[j]-q*j)),然后就可以(O(1))转移.
然后再看 (f[i]),将 (f[i]) 的转移方程整理后得:

[f[i]+2*p*ij-p*i^2=g[j]+p*j^2 ]

此时化为 (y=kx+b) 的形式.
则令 :
(2*p*j) 为 (x);
(i) 为 (k);
(f[i]-p*i) 为 (b) ;
(g[j]+p*j^2) 为 (y) ;
且我们发现 (k) 递增,满足斜率优化要求.此处 (g[i],g[j]) 都已经求解出来.
那么此时我们要使得 (f[i]) 尽量小,也就是使得 (b) 最小.
然后就是用单调队列维护下凸包找到第一个比 (k) 大的斜率即可.

Q:为什么找第一个比 (k) 大的斜率??
此时我们需要使得 (b) 最小,(b=x*(y/x-k)) ,所以要使得 (y/x) 尽量小且大于 (k) 即可.

时间复杂度 (O(n)).

Code

//第一次打不会,只能对着别人打 QwQ...
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define y(i) (g[i]+p*i*i)
#define x(i) (2*p*i)
using namespace std;
const int N=200005;
int n,r,l,Q[N];
ll p,q,Min,f[N],g[N];
int main(){
    cin>>n>>p>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        g[i]=Min+q*i;
        while(r>l&&i*(x(Q[l+1])-x(Q[l]))>=y(Q[l+1])-y(Q[l]))l++;
        f[i]=g[Q[l]]+p*(i-Q[l])*(i-Q[l]);
        Min=min(Min,f[i]-q*i);
        while(r>l&&(y(i)-y(Q[r]))*(x(Q[r])-x(Q[r-1]))<=(x(i)-x(Q[r]))*(y(Q[r])-y(Q[r-1])))r--;
        Q[++r]=i;
        //单调队列维护第一个比 k 大的斜率.
    }
    printf("%lld
",min(f[n],g[n]));
    return 0;
}