数学期望笔记

基础知识点

首先明确期望公式:

[E(X)=∑_ip_i*x_i ]

其中 (p) 代表概率 , (x) 代表发生贡献。

然后期望的几点性质:
对于数学期望，我们还应该明确一些知识点：

(1) 期望的“线性”性质
对于所有满足条件的离散型的随机变量(X,Y)和常量(a,b)有: $$E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)$$
即常说的"期望的和等于和的期望"
类似的,我们还有 (E(XY)=E(X)+E(Y)).

(2)全概率公式

假设({Bn∣n=1,2,3,...}) 是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合(Bn)是一个“可数集合”，则对于任意事件(A)有：

[P(A)=∑_nP(A∣Bn)P(Bn) ]

(3)全期望公式

[E(Y)=E(E(Y∣X))=∑_iP(X=xi)E(Y∣X=xi) ]

## 1. P3802 小魔女帕琪 ### [题目链接](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3802)

Solution

今天被期望虐惨了,去洛谷找了一道颜色最浅的期望题,结果还是被虐了...

首先,很明显,小魔女会施展(N=sum^{i=1}_7a_i) 次魔法。

我们考虑一个节点 (i) , 以它为起点;
然后有 (7) 种不同颜色的概率即为:

[prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1} ]

然后,我们可以知道每一次这种结果的贡献即为其排列数 (7!)
所以对于单点 (i) , 其期望即为:

[P_i=7!*prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1} ]

由因为这样的点至多只有 (N-6) 个,所以最终答案即为:

[Ans=(N-6)*7!*prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1} ]

然后此题代码十分简洁.不过十行.

2. UVA12230 Crossing Rivers

题目链接

题意翻译

一个人每天需要从家去往公司,然后家与公司的道路是条直线,长度为 (D)。
同时路上有 (N) 条河,给出起点和宽度(W_i) , 过河需要乘坐速度为(V_i) 的渡船;
船在河中的位置随机,固定往返时间. 且该人在陆地上行走速度为 1 .求该人去公司的路途的期望时间.

Solution

让我多了一些对于期望的了解。
考虑过每条河流的最坏情况和最好情况.
1.最坏情况: ((3*W_i)/V_i) ; 此时即船刚刚走。
2.最好情况: (W_i/V_i) ; 此时即船刚好来。

由于船的位置随机,所以说其满足期望线性.
所以我们每次过一条河流的期望时间即为: ((2*W_i)/V_i) ;
然后就解决了这个问题.

3. SP1026 FAVDICE - Favorite Dice

题目链接

一句话题意:
给一个 (n) 面的骰子,问每一面都被甩到的次数期望是多少.

Solution

这是一道比较好的期望 DP 入门题.
考虑定义 (f[i]) 为有 (i) 面没有被投到的可能次数.

那么对于没有投到的面数 (k) ,我们有 (k/n) 的可能性继续投到它们.
同样,对于已经投到过的,我们有 (n-k/n) 的概率可继续投到它们.
然后它们的贡献即分别为 (f[k]) 和 (f[k-1]).

那么即得到转移式:

[f[i]=i/n*f[i]+(n-i)/n*f[i+1]+1 ]

从 (f[n]) 倒推即可,(f) 初始为 0.

4. P1365 WJMZBMR打osu! / Easy

题目链接

Solution

Wa,我是真的被期望折服了,感觉这道题拿来练手正好.
DP的难度可做又巧妙...

我们定义:
(f[i]) 代表到第 (i) 次点击的时候的最大答案.
(g[i]) 代表到第 (i) 此点击的 (o) 的期望长度.

然后看转移:
1.此时为 (o) ,那么我可以直接计算答案。
由于 ((x+1)^2=x^2+2x+1) ,所以我们得到转移方程:
$$f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1$$
同时由于此时 (o) 的长度已经增加,所以同时 (g[i]=g[i-1]+1).

2.此时为 (x),同样直接统计答案.
(f[i]=f[i-1]) , (g[i]=0).

3.此时为 (?) ,那么我们对于以上两种情况都有 (0.5) 的概率.
然后直接转移:
$$f[i]=0.5(f[i-1]+2g[i-1]+1+f[i-1])$$
$$g[i]=0.5*(g[i-1]+1+0)$$

然后最后面 (f[n]) 即为答案.