【BZOJ 4455】 4455: [Zjoi2016]小星星 （容斥原理+树形DP）

4455: [Zjoi2016]小星星

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Description

小Y是一个心灵手巧的女孩子，她喜欢手工制作一些小饰品。她有n颗小星星，用m条彩色的细线串了起来，每条细

线连着两颗小星星。有一天她发现，她的饰品被破坏了，很多细线都被拆掉了。这个饰品只剩下了n?1条细线，但

通过这些细线，这颗小星星还是被串在一起，也就是这些小星星通过这些细线形成了树。小Y找到了这个饰品的设

计图纸，她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。如果现在饰品中两颗小星星有细线相连，

那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连。小Y想知道有多少种可能的对应方式。只有你告诉了她正确的

答案，她才会把小饰品做为礼物送给你呢。

Input

第一行包含个2正整数n,m，表示原来的饰品中小星星的个数和细线的条数。

接下来m行，每行包含2个正整数u,v，表示原来的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。

这里的小星星从1开始标号。保证u≠v，且每对小星星之间最多只有一条细线相连。

接下来n-1行，每行包含个2正整数u,v，表示现在的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。

保证这些小星星通过细线可以串在一起。

n<=17,m<=n*(n-1)/2

Output

输出共1行，包含一个整数表示可能的对应方式的数量。

如果不存在可行的对应方式则输出0。

Sample Input

4 3
1 2
1 3
1 4
4 1
4 2
4 3

Sample Output

6

HINT

 题解:JudgeOnline/upload/201603/4455.txt

Source

 

【分析】

　　很久之前的比赛的一题。【好题啊但是我为什么没有写题解？

　　先不考虑每个点一一对应的话，对应关系正确当且仅当树上有的边，对应到原来的无向图上的边也有。

　　f[x][i]表示x这个点对应i这个点的情况下，x这棵子树的对应关系正确的方案数。

　　这个树形DP即可，n^3。

　　但是要保证一一对应，那么可能有一些点没有被对应，所以用容斥。

　　枚举没有对应的点，若为奇则减，为偶则加。

　　【记得好像不用边目录会T？

　　【好像这种“恰好”或者“一一对应”的题目都很经常用容斥，你不能保证要保证的东西，容斥一下就会变得简单

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 0xfffffff
#define Maxn 20
#define LL long long

bool c[Maxn][Maxn];
int fa[Maxn],first[Maxn];

int n,m;

struct node
{
    int x,y,next;
}t[2*Maxn];int len;

void ins(int x,int y)
{
    t[++len].x=x;t[len].y=y;
    t[len].next=first[x];first[x]=len;
}

void dfs(int x,int f)
{
    fa[x]=f;
    for(int i=first[x];i;i=t[i].next) if(t[i].y!=f)
    {
        dfs(t[i].y,x);
    }
}

LL f[Maxn][Maxn];

void get_f(int x,int s)
{
    for(int i=first[x];i;i=t[i].next) if(t[i].y!=fa[x])
    {
        get_f(t[i].y,s);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(((1<<i-1)&s)==0)
    {
        f[x][i]=1;
        for(int j=first[x];j;j=t[j].next) if(t[j].y!=fa[x])
        {
            LL now=0;
            int y=t[j].y;
            for(int k=1;k<=n;k++) if(c[i][k])
            {
                now+=f[y][k];
            }
            f[x][i]*=now;
        }
    }
    else f[x][i]=0;
}

int main()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        c[x][y]=c[y][x]=1;
    }
    memset(first,0,sizeof(first));
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ins(x,y);ins(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    int mx=(1<<n)-1;
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        // memset(f,0,sizeof(f));
        get_f(1,i);
        int h=0,now=i;
        LL sum=0;
        while(now)
        {
            if(now&1) h++;
            now/=2;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++) sum+=f[1][j];
        if(h%2==0) ans+=sum;
        else ans-=sum;
    }
    // memset(f,0,sizeof(f));
    get_f(1,0);
    for(int j=1;j<=n;j++) ans+=f[1][j];
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

2017-04-20 17:23:11