题目来源：UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)
题意：n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转
【分析】
要开始学置换了。
置换是什么呢？
置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义：
在组合数学中，置换一词的传统意义是一个有序序列，其中元素不重复，但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换，但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。
置换的乘法：
f={1,3,2} g={2,1,3} f*g={2,3,1}
计算过程是 1->1->2, 2->3->3 , 3->2->1 。
置换的循环移位 （1 4 3）表示1->4, 4->3, 3->1。
比如 （1 2 3 4 5）
（3 5 1 4 2） =（1 3）（2 5）（4）
循环节为3.
等价类计数问题
题目定义一种等价关系，满足等价关系的元素被看成是同一类，只统计一次。等价关系满足自反性、对称性、传递性。
burnside引理
对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。（即循环里面只有一个元素）
将f的不动点数目记为C(f),则可以证明等价类数目为所有C（f）的平均值。
这题用到burnside引理或polya定理。（polya定理可以用burnside引理证明）
本题：
旋转：
如果逆时针旋转i颗珠子的间距，那么珠子0，i，2*i...构成一个循环。这个循环有n/gcd（i，n）个元素，根据对称性，所有循环长度均相同，因此一共有gcd（i,n）个循环。这些置换的不动点总数为a=sigma（t^gcd(i,n)）。
翻转：
分两种情况讨论。当n为奇数时，对称轴有n条，。。。。不动点总数为$n*t$^$dfrac{n+1}{2}$
当n为偶数是时，有两种对称轴，一共n条，。。。。不动点总数为$dfrac{n}{2}*(t$^$(dfrac{n}{2}+1)+t$^$dfrac{n}{2})$
加起来求均值即可。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 #define Maxn 60 9 #define LL long long 10 11 LL pw[110]; 12 13 int gcd(int a,int b) 14 { 15 if(b==0) return a; 16 return gcd(b,a%b); 17 } 18 19 int main() 20 { 21 int n,t; 22 while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF) 23 { 24 pw[0]=1; 25 for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*t; 26 LL a=0; 27 for(int i=0;i<n;i++) a+=pw[gcd(i,n)]; 28 LL b=0; 29 if(n%2==1) b=n*pw[(n+1)/2]; 30 else b=n/2*(pw[n/2+1]+pw[n/2]); 31 printf("%lld %lld ",a/n,(a+b)/2/n); 32 } 33 return 0; 34 }
其实觉得这题的数据范围过不了啊，不是10^50了么？？？？
为什么大家都这样打？？
2017-01-11 11:18:14