数论基础

数论基础

艾佛森括号

\[[P]=\begin{cases} 1& P\text{ is true}\\ 0& \text{otherwise} \end{cases} \]

数论分块

可以 \(O(\sqrt n)\) 地求形如 \(\sum_{i=1}^n f(i)g(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\) 的式子，

但需要 \(f(i)\) 的前缀和，以及求出 \(g(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\)

引理 1

\(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor(1\le i\le n)\) 的取值只有 \(O(\sqrt n)\) 种，大约 \(2\sqrt n\) 个

分类讨论，证明：

• \(i\le\sqrt n\) ，此时 \(i\) 只有 \(\sqrt n\) 个，故 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\) 只有 \(\sqrt n\) 个
• \(i>\sqrt n\) ，此时 \(\dfrac{n}{i}<\sqrt n\) ，也只有 \(\sqrt n\) 个

结论成立。

引理 2

\[\lfloor\dfrac{a}{bc}\rfloor=\left\lfloor\dfrac{\frac a b}{c}\right\rfloor \]

证明：

\[\dfrac{a}{b}=\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor+r(0\le r<1)\\ \Rightarrow\lfloor\dfrac{a}{bc}\rfloor=\lfloor\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{c}\rfloor =\lfloor\dfrac{1}{c}(\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor+r)\rfloor= \left\lfloor\dfrac{\frac a b}{c}+\dfrac r c\right\rfloor= \left\lfloor\dfrac{\frac a b}{c}\right\rfloor \]

结论

实现时，只需要求每一个取值块的右端点，

即给 \(l\) ，求最大的 \(r\) 满足 \(\lfloor\dfrac{n}{l}\rfloor=\lfloor\dfrac{n}{r}\rfloor\) 。

有结论：\(r=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor\) ，证明如下：

令 \(k=\lfloor\dfrac{n}{l}\rfloor\) ，则 \(k\le \dfrac{n}{l}\)

所以 \(\lfloor\dfrac{n}{k}\rfloor\ge\left\lfloor\dfrac n{\frac{n}{l}}\right\rfloor=\lfloor i\rfloor=i\)

\(r\) 即为最大的满足条件的 \(i\) 即 \(i_\max=\lfloor\dfrac{n}{k}\rfloor=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor\)

实现：

for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
    r = n / (n / l);
    // calc (l, r)
}

筛法

埃式筛

一个很易懂的想法：每次将所有数的倍数标记，没有被标记就是质数

这样的复杂度显然调和级数，为 \(O(n\log n)\)

埃式筛就加以改进：指标记质数的倍数

比较显然，唯一分解定理保证每个数都能被筛到

这样的做法是 \(O(n\log\log n)\) 的，证明需要微积分基础，此处略

欧拉筛 / 线性筛

这种做法能做到线性

注意到，埃式筛仍然会重复筛。

线性筛的思想是，每个数只被其最小质因数筛到

这个思想可以看出复杂度为 \(O(n)\)

实现上的区别：

埃式筛是枚举质数 \(i\) ，枚举倍数 \(ij\)

线性筛是枚举 \(j\) ，再枚举质数 \(i\)

const int N = 1e7 + 5;
int vis[N], p[N], cnt;
void get() {
    for (int i = 2; i <= 1e7; i++) {
        if (!vis[i]) p[++cnt] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= 1e7; j++) {
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
            /*
            i % p[j] == 0 ，即 i 被之前的 p[j] 筛过了，
            由于 p 中的数是从小到大的
            i 乘上更大素数的结果也被 p[j] 筛过，所以直接 break
            */
        }
    }
}

数论函数

定义

数论上，数论函数（或算术函数）指定义域为正整数，值域为复数的函数

加性函数

对于数论函数 \(f\) ，满足 \(\forall\gcd(a,b)=1,f(a)+f(b)=f(ab)\) ，则 \(f\) 为加性函数

特别地，若 \(f\) 对所有的 \((a,b)\) 都满足 \(f(a)+f(b)=f(ab)\) ，则 \(f\) 为完全加性函数

• 加性函数一定有 \(f(1)=0\)

常见加性函数

• \(\omega(n)=\sum_{p\in\mathbb{P}}[p|n]\) ，\(n\) 本质不同质因子个数
• \(\Omega(n)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{p^a|n}1(a>0)\) ，\(n\) 所有质因子个数，完全加性

积性函数

对于数论函数 \(f\) ，满足 \(\forall \gcd(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)\) ，则 \(f\) 为积性函数

特别地，若 \(f\) 对所有的 \(a,b\) 都满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\) ，则 \(f\) 为完全积性函数

• 积性函数一定满足 \(f(1)=1\)

常见积性函数

• 元函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\) ，完全积性

• 单位函数 \(\mathbf{1}(n)=1\) ，完全积性

• 标号函数 \(\mathbf{ID}_k(n)=n^k\) ，完全积性

• 约数函数 \(\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k\)

• 欧拉函数 \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\)

• 莫比乌斯函数

  \[\mu(n)=\left\{ \begin{aligned} 1, & & n=1 \\ (-1)^k & & n=\Pi_{i=0}^k p_i\and\forall i\ne j,a_i\ne a_j \\ 0 & & \text{otherwise} \end{aligned} \right. \]

性质：

若 \(f,g\) 为积性函数，则

• \(h(x)=f(x^C)\)
• \(h(x)=f^C(x)\)
• \(h(x)=f(x)g(x)\)
• \(h(x)=(f*g)(x)\) ，即狄利克雷卷积

都是积性函数

设 \(n=\prod p_i^{a_i}\)

若 \(F(n)\) 为积性函数，则 \(F(n)=\prod F(p_i^{a_i})\)

若 \(F(n)\) 为完全积性函数，则 \(F(n)=\prod F(p_i)^{a_i}\)

积性函数筛法

基本上，积性函数都有线性筛法。

为了方便表示，令 \(x=i*p_j\)

筛出积性函数其实只用增加几个部分：初始化（包括 1）、标记时的两种情况

欧拉函数

1. \(i\;mod\; p_j\ne 0\) ，\(x,p_j\) 互质，由于是积性函数，

   直接 \(\varphi(x)=\varphi(i)\varphi(p_j+1)\) ，即 \(\varphi(x)=(p_j+1)\varphi(i)\)

2. \(i\;mod\;p_j=0\) ，\(i\) 包含了 \(x\) 的所有质因数

   \[\begin{aligned}\varphi(x)&=x\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i-1}{p_i}\\ &=p_j\times i\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i-1}{p_i}\\&=p_j\times\varphi(i) \end{aligned} \]

莫比乌斯函数

\(\mu(1)=1,\mu(p)=-1\)

1. \(i\;mod\; p_j\ne 0\) ，\(\mu(x)=-\mu(i)\)

2. \(i\;mod\;p_j=0\) ，出现多次，\(\mu(x)=0\)

约数个数

令 \(d(i)\) 表示 \(i\) 的约数个数， \(num_i\) 为 \(i\) 最小素因子的个数

小学奥数说：若 \(n=\Pi_{i=1}^m p_i^{a_i}\) ，则 \(d(n)=\Pi_{i=1}^m (a_i+1)\)

1. \(i\;mod\; p_j\ne 0\) ，\(p_j\) 是 \(x\) 的最小质因数，且第一次出现，所以 \(num_x=1,d_x=2d_i\)

2. \(i\;mod\;p_j=0\) ，\(p_j\) 出现次数加一，约数个数用出现次数更新

   所以 \(num_x=num_i+1,d_x=d_i\times\frac{num_x+1}{num_x}\)

约数和

令 \(f(i)\) 表示 \(i\) 的约数和， \(g_i\) 表示 \(\sum_{j=0}^k p^j\) ，其中 \(p\) 为 \(i\) 最小素因子， \(k\) 为出现次数

小学奥数说：若 \(n=\Pi_{i=1}^m p_i^{a_i}\) ，则 \(f(n)=\prod_{i=1}^m\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j\)

1. \(i\;mod\; p_j\ne 0\) ，最小素因子，次数为 1，\(f_x=f_i*(1+p_j),g_x=1+p_j\)
2. \(i\;mod\;p_j=0\) ，出现次数加一，\(g_x=g_i*p_j+1,f_x=f_i\times\frac{g_x}{g_i}\)

一般积性函数

如果积性函数 \(f\) 满足：对于任意质数 \(p\) 和正整数 \(k\) ，可以在 \(O(1)\) 求出 \(f(p^k)\) ，则 \(f\) 可以线性筛

设合数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}\) ，其中 \(p_1<p_2<\cdots<p_k\) 为质数，记 \(g_n=p_1^{a_1}\)

若 \(n\) 在线性筛中被 \(x\cdot p\) 筛掉，\(p\) 为质数，则 \(g_n\) 满足：

• 若 \(x\bmod p=0\) ，\(g_n=g_x\cdot p\)
• 否则，\(g_n=p\)

由 \(g_n\) 可以筛出 \(f_n\)

• 若 \(n=g_n\) ，说明 \(n\) 是某个质数的次幂，可以 \(O(1)\) 计算
• 否则，\(f(n)=f(\dfrac{n}{g_n})\cdot f(g_n)\)

狄利克雷卷积

看起来高级的名字实际上是定义了一种新的运算，大大简化了表示

两个数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积 \(f*g\) 仍是一个数论函数，且 \((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)

狄利克雷卷积满足交换律 \(f*g=g*f\) 、结合律 \(f*(g*h)=(f*g)*h\) 分配律 \((f+g)*h=f*h+g*h\)

根据各种函数性质得到：

1. \(\mu*\mathbf{1}=\epsilon\)

2. \(\varphi*\mathbf{1}=\mathbf{ID}\)

3. \(f*\epsilon=f\)

4. 由 1 式和 2 式

   \[\begin{aligned} \mu*1&=\epsilon\\ \mu*1*\varphi&=\epsilon*\varphi\\ \mu*\mathbf{ID}&=\varphi\\ \sum_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}&=\varphi(n) \end{aligned} \]

   两边同时除以 \(n\) ，得到了巧妙的式子：

   \[\dfrac{\varphi(n)}{n}=\sum_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d} \]

5. 莫比乌斯反演定理可以用狄利克雷卷积证明

   即证明 \(F=f*1\Rightarrow f=\mu*F\)

   将 \(F\) 带入，\(f=\mu*F=\mu*(f*1)\) ，由交换律和结合律，\(f=(\mu*1)*f=f*\epsilon=f\) ，得证

同余等价类

在模意义下，每一个数都是一个同于等价类。

比如，模 3 意义下，1 表示所有除以 3 余 1 的整数，即 \(\{1,4,7,\cdots,\}\)

在模意义下，所有非负整数都可以被分为若干同余等价类

剩余系

模 \(p\) 的剩余系是 \(\{0,1,2,\cdots,p-1\}\) ，即小于 \(p\) 的非负整数

这个集合包含了所有 \(\;mod\;p\) 的数，集合中每一个数都代表了一个同于等价类

这个集合称为模 \(p\) 的剩余系，记作 \(Z_p\)

缩系

缩系，又称简化剩余系

即在模 \(p\) 的剩余系中，与 \(p\) 互质的数的集合，称为 \(p\) 的缩系，记为 \(Z_p^*\)

如 \(p=6\) 时，\(Z_p^*=\{1,5\}\)