最少分组
题意
\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图,可以删掉 0 条或多条边,求满足条件的最小连通块数量:
- 对每个顶点对 \((a,b)\) ,若 \(a\) 和 \(b\) 同属于一个连通块,则 \(a,b\) 之间有边
\(n\le 18\)
题解
显然状压
设 \(f[V]\) 表示点集为 \(V\) 时的答案,则
\[f[V]=\min f[V']+f[V-V']
\]
其中 \(V'\) 是 \(V\) 的子集
初始化:\(f[S]=1\) 当且仅当 \(S\) 是原图的完全字图
因为需要枚举 子集的子集,而一个点只有可能:
- 不在第一层子集中
- 在第一个子集但不在第二个子集
- 在第二个子集
一个点 3 种情况,复杂度 \(O(3^n)\)
因为常数小,即使 \(3^{18}\ge3\times10^9\) 但也能过
Code
这里有新的姿势:如何枚举子集的子集?
for (int i = 1; i < (1 << n); i++)
for (int j = i; j; j = (j - 1) & i)
; // do something
其中 (j - 1) & i
可以保证合法
具体实现:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 20;
int n, m, g[N][N], mx, ans, f[1 << N];
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
mx = (1 << n) - 1;
for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v), --u, --v;
g[u][v] = g[v][u] = 1;
}
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0] = 0;
for (int i = 1, fl; i <= mx; i++) {
fl = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) if ((i >> j) & 1)
for (int k = j + 1; k < n; k++) if ((i >> k) & 1)
if (!g[j][k]) { fl = 0; break; }
if (fl) f[i] = 1;
}
for (int i = 1; i <= mx; i++)
for (int j = i; j; j = (j - 1) & i)
f[i] = min(f[i], f[j] + f[j ^ i]);
printf("%d", f[mx]);
}
总结
状压中枚举子集的子集的技巧