前言
2020 年学的最后一个算法！
然而到了现在才来填
有的人说 Splay 常数大，还难打。
但是这迟早是要学的：总会遇到 LCT
基本操作
约定
\(cnt_i\) ：节点 \(i\) 重复的个数
\(val_i\)：节点 \(i\) 的权值
\(sz_i\)：节点 \(i\) 的子树大小
\(ch_{i,0/1}\)：节点 \(i\) 的左右儿子
\(fa_i\)：节点 \(i\) 的父亲
\(root\)：当前根节点
\(tot\)：总共节点数
\(\text{Get(x)}\)：获得 \(x\) 是左子树还是右子树
\(\text{Up(x)}\)：更新当前子树大小
int cnt[N],val[N],sz[N],fa[N],ch[N][2],root,tot;
// ! ch[x][0]:left
// ! ch[x][1]:right
inline int Get(int x) { return ch[fa[x]][1]==x; }
inline void Up(int x) { sz[x]=cnt[x]+sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]; }
旋转 Rotate
作用：把 x 旋转到 y 的位置并且保持 BST 性质
- y 是 z 的哪个儿子， x 就是 z 的哪个儿子
- x 是 y 的哪个儿子， y 就是 x 的那个儿子的兄弟
- x 是 y 的哪个儿子， y 的那个儿子就是 x 的那个儿子的兄弟
inline void Rot(int x) {
register int y=fa[x],z=fa[y],k=Get(x);
ch[z][Get(y)]=x,fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;
Up(y),Up(x);
}
伸展 Splay
既然叫 Splay ，肯定有 Splay 这个操作。
作用：将 \(x\) 旋转到 \(goal\) 下面
最朴素的方法是一直 \(\text{Rotate}\)，但是要考虑一种情况
如果是一条链，这样子 Splay 后仍然是一条链
只要先旋转父亲，可以保证链深度减半
inline void Splay(int x,int goal=0) {
for(int y;(y=fa[x])^goal;Rot(x))
if(fa[y]^goal)Rot(Get(x)^Get(y)?x:y);
if(!goal)root=x;
}
正规操作
Find
找到最接近值为 \(x\) 的点，并伸展到根
inline void Find(int x) {
if(!root)return;
register int u=root;
while(ch[u][x>val[u]] && x^val[u])
u=ch[u][x>val[u]];
Splay(u);
}
Insert
插入值为 \(x\) 的点
- 找到插入点
- 如果有重复，直接加对应 \(cnt\)
- 否则新加一个点
- 把新节点伸展到根
inline void Ins(int x) {
register int u=root,fu=0;
while(u && val[u]^x)fu=u,u=ch[u][x>val[u]];
if(u)cnt[u]++;
else {
u=++tot;
if(fu)ch[fu][x>val[fu]]=u;
ch[u][0]=ch[u][1]=0;
fa[u]=fu,val[u]=x;
cnt[u]=sz[u]=1;
}
Splay(u);
}
前驱和后继
可以写成一个函数
因为只要先 \(\text{Find(x)}\)，那么
前驱就是根的左子树里最大的一个
后继就是根的右子树里最小的一个
inline int Nxt(int x,int f) {
Find(x);
register int u=root;
if(val[u]>x && f)return u;
if(val[u]<x &&!f)return u;
u=ch[u][f];
while(ch[u][f^1])u=ch[u][f^1];
return u;
}
Delete
删除值为 \(x\) 的点：有更快的写法，但蒟蒻不会
找到 \(x\) 的前驱和后继
\(\text{Splay(pre),Splay(suc,pre)}\)
好了现在直接删点即可
inline void Del(int x) {
register int lst=Nxt(x,0),nxt=Nxt(x,1);
Splay(lst),Splay(nxt,lst);
register int del=ch[nxt][0];
if(cnt[del]>1)--cnt[del],Splay(del);
else ch[nxt][0]=0;
}
Kth
找到排名为 \(k\) 的节点权值
inline int Kth(int k) {
register int u=root,sn=0;
for(;;) {
sn=ch[u][0];
if(k>sz[sn]+cnt[u])
k-=sz[sn]+cnt[u],u=ch[u][1];
else if(sz[sn]>=k)u=sn;
else return val[u];
}
}
例 1
Tips：\(\text{Splay}\)一般先加两个哨兵节点，即 \(+\infin,-\infin\)
防止 Splay 出锅
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005,INF=2147483647;
int cnt[N],val[N],sz[N],fa[N],ch[N][2],root,tot;
// ! ch[x][0]:left
// ! ch[x][1]:right
inline int Get(int x) { return ch[fa[x]][1]==x; }
inline void Up(int x) { sz[x]=cnt[x]+sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]; }
inline void Rot(int x) {
register int y=fa[x],z=fa[y],k=Get(x);
ch[z][Get(y)]=x,fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;
Up(y),Up(x);
}
inline void Splay(int x,int goal=0) {
for(int y;(y=fa[x])^goal;Rot(x))
if(fa[y]^goal)Rot(Get(x)^Get(y)?x:y);
if(!goal)root=x;
}
inline void Find(int x) {
if(!root)return;
register int u=root;
while(ch[u][x>val[u]] && x^val[u])
u=ch[u][x>val[u]];
Splay(u);
}
inline void Ins(int x) {
register int u=root,fu=0;
while(u && val[u]^x)fu=u,u=ch[u][x>val[u]];
if(u)cnt[u]++;
else {
u=++tot;
if(fu)ch[fu][x>val[fu]]=u;
ch[u][0]=ch[u][1]=0;
fa[u]=fu,val[u]=x;
cnt[u]=sz[u]=1;
}
Splay(u);
}
inline int Nxt(int x,int f) {
Find(x);
register int u=root;
if(val[u]>x && f)return u;
if(val[u]<x &&!f)return u;
u=ch[u][f];
while(ch[u][f^1])u=ch[u][f^1];
return u;
}
inline void Del(int x) {
register int lst=Nxt(x,0),nxt=Nxt(x,1);
Splay(lst),Splay(nxt,lst);
register int del=ch[nxt][0];
if(cnt[del]>1)--cnt[del],Splay(del);
else ch[nxt][0]=0;
}
inline int Kth(int k) {
register int u=root,sn=0;
for(;;) {
sn=ch[u][0];
if(k>sz[sn]+cnt[u])
k-=sz[sn]+cnt[u],u=ch[u][1];
else if(sz[sn]>=k)u=sn;
else return val[u];
}
}
int T;
int main() {
Ins(-INF);
Ins(+INF);
scanf("%d",&T);
for(int opt,x;T--;) {
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1)Ins(x);
else if(opt==2)Del(x);
else if(opt==3)Find(x),printf("%d\n",sz[ch[root][0]]);
else if(opt==4)printf("%d\n",Kth(x+1));
else if(opt==5)printf("%d\n",val[Nxt(x,0)]);
else if(opt==6)printf("%d\n",val[Nxt(x,1)]);
}
}
不正常操作
区间翻转
由于原数列的顺序已经给定，就不能按照权值排序。考虑按照点的编号排序。
这样的话建树也方便了许多，\(org_{i}\) 代表 \(i\) 对应的值
int bui(int l,int r,int f) {
if(l>r)return 0;
register int mid=l+r>>1,u=++tot;
fa[u]=f,sz[u]=1,vl[u]=org[mid];
ch[u][0]=bui(l,mid-1,u);
ch[u][1]=bui(mid+1,r,u);
return Up(u),u;
}
对于翻转，考虑用 \(\text{Splay}\) 的性质，将 \(l-1\) 翻转到根，再将 \(r+1\) 翻转到 \(l-1\) 下
然后将 \([l,r]\) 对应子树打上懒标记即可。
翻转可以用第 K 大结合 \(\text{Splay}\)
输出直接中序遍历
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005,inf=2147483647;
int fa[N],vl[N],ch[N][2],sz[N],tg[N],org[N],root,tot;
inline int Get(int x) { return ch[fa[x]][1]==x; }
inline void Up(int x) { sz[x]=1+sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]; }
inline void Rot(int x) {
register int y=fa[x],z=fa[y],k=Get(x);
ch[z][Get(y)]=x,fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;
Up(y),Up(x);
}
inline void Splay(int x,int goal=0) {
for(int y;(y=fa[x])^goal;Rot(x))
if(fa[y]^goal)Rot(Get(x)^Get(y)?x:y);
if(!goal)root=x;
}
int bui(int l,int r,int f) {
if(l>r)return 0;
register int mid=l+r>>1,u=++tot;
fa[u]=f,sz[u]=1,vl[u]=org[mid];
ch[u][0]=bui(l,mid-1,u);
ch[u][1]=bui(mid+1,r,u);
return Up(u),u;
}
inline void down(int x) {
if(!tg[x])return;
tg[ch[x][0]]^=1;
tg[ch[x][1]]^=1;
tg[x]=0;
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}
inline int Kth(int x){
register int u=root,sn=0;
for(;;) {
down(u),sn=ch[u][0];
if(x==sz[sn]+1)return u;
else if(x<=sz[sn])u=sn;
else x-=sz[sn]+1,u=ch[u][1];
}
}
inline void rev(int l,int r) {
register int p=Kth(l-1),q=Kth(r+1),rv;
Splay(p),Splay(q,p);
rv=ch[root][1],rv=ch[rv][0],tg[rv]^=1;
}
void print(int x) {
down(x);
if(ch[x][0])print(ch[x][0]);
if(-inf<vl[x] && vl[x]<inf)printf("%d ",vl[x]);
if(ch[x][1])print(ch[x][1]);
}
int n,T;
int main() {
scanf("%d%d",&n,&T);
org[1]=-inf,org[n+2]=inf;
for(int i=1;i<=n;i++)org[i+1]=i;
root=bui(1,n+2,0);
for(int l,r;T--;) {
scanf("%d%d",&l,&r);
rev(l+1,r+1);
}
print(root);
}