1. 参考论文
Reweighted Random Walks for Graph Matching【1】
The pagerank citation ranking: Bringing order to the web【2】
A spectral technique for correspondence problems using pairwise constraints【3】
2. 论文概述
论文提出了全新的思路——马尔科夫链去解决图匹配问题，提出了“基本版” Random Walk 并从随机游走角度恰好解释了【3】的谱方法SM的理论。随后根据【2】的思路改进成 RRM，通过实验证明其效果还是蛮不错的。
3. 论文介绍
3.1 传统问题描述
传统的图匹配问题，优化的目标函数为：
通过限制条件可以看出这是 IQP (integer quadratic program) 问题，其中 w 是两个图的相似度矩阵，x 是排列矩阵的列向量化（vec）
3.2 Markov角度问题描述
这是论文最核心的地方，即如何将传统的图匹配问转化为随机过程Markov的问题。我们先看平时场见的相似度矩阵 w 的形式：
观察上图(g)，可以发现不管行、列，其坐标每一项代表含义都是两图中两个点的假设对应关系，如 1a 。我们最终的目的也是找到类似如此的对应关系，只不过这里借助的是相似度矩阵。
那么，作者就是从相似度矩阵出发，将其改造成随机游走模型，如图：
两个图P、Q的点的对应关系就当作Grw的结点，而相似度矩阵的对角线上的值（即一阶点的对应关系）当作Grw的 attribute，相似度矩阵非对角线上的 attribute 当作Grw的两个顶点（如13--22）构成的边的值。这样一来，我们将相似度矩阵就变换成了Grw的形式，同时，整个图匹配问题，变成了在改图上的随机游走过程，最终的目标成了在Grw上选点的过程—— To select the nodes in Grw（ selecting reliable nodes in the Grw）
而如何选点，论文借鉴了【2】.
3.3 转移矩阵
Markov 过程需要一个转移矩阵（概率矩阵），那么对应到这里，怎么构建呢？首先可以明确的是，肯定是从 w 入手，将其改造成转移矩阵——每行和为1，每一项 ≥ 0（满足）。
对于前者条件，一种常见的思路是：
即求 w 每一行的和，然后改行分别处以该数——但是其弊处明显，文中提到这种做法会放大不匹配点的概率，即相似度矩阵本来是相似度值的大小，通过除法，会削弱相似度大的值，反之放大原本小的值的匹配概率（如 1 0 2；3 0 6；---->均为 1/3 0 2/3）
作者采用将 w 矩阵每一项均除以 max(sum(和))，即以此做法保护原来相似度值较大的点。思路是这样，然后为了满足Markov的sum（行）=1的特点，需要改造转移矩阵：
其中左式 P 就是转移矩阵，其中dmax = max(sum(行和))，d(向量)是每行和，式子第一项就是为了满足转移矩阵行和为1，同时底部第二行是为了保证P是个方阵，原本是 xP，既然 P 是多了一项，所以改造x，引入（x xabs）P，即如上图右边式子，上标n代表转移次数
而引入 xabs，其实就是对Grw再此进行改造，增加一个虚拟结点（absorb 吸收点），因为 P 的转移概率是（0000....000 1）, 即恰好代表 nm*nm+1 这个结点不会转移到其他点，只能自转移，概率为1。
如下图，就是引入该 abs 的图
3.4 为什么求解Markov链的稳态就是结果
论文最终就是通过 P 转移矩阵，求得 x 的稳态（稳态Markov链），我想因为 x 的初始分布（应该）可以平均分配（即随机游走开始（1/mn*mn 1/mn*mn.....）），而Grw的edge代表了相似度，进一步该相似度被转化成了P（即概率表示），那么最终得到的 x 的值（再还原回矩阵）代表了两两结点如何匹配的score，然后使用匈牙利算法即可选出该x还原回来的矩阵的最佳匹配score
至于为什么稳态（转移矩阵n次幂）一定存在：
但是如果按上述设计转移矩阵 P，其最终的迭代结果是 （00000....000 1）,所以如果迭代到一定次数即可，得到近似解
3.5 RM与SM效果的一致性证明
作者提到，RM 是从随机游走角度解释了谱方法【2】的做法（即选取 w 的最大特征值），证明如下：
首先引入一个概率分布
其中 X^(n) 是随机变量表示（2）转移公式中节点在n时刻的位置，x(hat)ia(n) 是如上定义的概率，表示为游走到absorb node 点的条件概率。同时记
同时给出定义、定理：
然后
这里一定要注意，个人觉得，按照上述P的转移矩阵， XP---XPP----XPPP..... 最后X 一定变成了（0000 1），前面提过这点。所以这里 xhat(n) 表示的是条件概率，即不是以任意点开始游走，然后均以 absorb node 点为最终结果的的概率，也就是没有算到最后稳态（迭代到稳态之前停止），那么
根据 Perron Frobenius theorem，① w 是不可约的 ② x hat 是非负的，则上述 “lamda” 是最大左特征值，对应的 x hat 是特征向量。
而这正好同SM【3】观点相同，得到近似解，则只要求 w 的最大特征向量，随后矩阵化得到排列矩阵
3.6 Reweighted Random Walk
通过RW，已经达到了SM的效果，更进一步，作者还是根据【2】的思路设计了RRW——作者给出的RW的不足的解释是IQP的subject限制条件未在Markov中体现（这里我不理解，是≤1这个条件未满足？我觉得RRW最大的好处就是inflation，①在游走的时候让相似度大的点得到更到的被选概率②jump的存在提供了游走的更多状态空间，详见下） ：
RRW就是改造转移概率，提出 personalization jump，即在Grw中可以选择①按照现有的边走下一步②也可以直接jump到其点
阿尔法就是选择继续按边walk 还是 1-α 选择jump。其中 r 是 reweighting jump vector 。
关于 r 的设计，一种方法是：直接使用当前的 x ，弊端是会让错误匹配（相似度点较小）的点不能在初期的迭代中排除掉。作者设计 r 从两个角度：① inflation ② bistochastic normalization。后者是归一化成双随机矩阵。
前者使用这样一个公式：
，用意是：
Strong candidates are amplified while weak candidates are attenuated。
所以最终：
其中 fc函数就是实现 inflation 和 bistochastic normalization的
3.7 RRW Algorithm
最后得到的 x 是个矩阵score，类似如下：
通过匈牙利算法可以得到选择行列匹配关系是score最大的。匈牙利算法