Havana真好听qwq
AB题就不写了 SB
C.BBuBBBlesort!
有一个长度为$n$的数列
你每次可以用两种操作
1.交换两个相邻元素
2.交换两个隔且仅隔了一个的元素
求把数列排成有序的，最少需要多少1操作
sol：显然，2操作并不会改变排序后元素所处位置的奇偶性
我们找到所有排序后位置与现在位置差为奇数的点，再除以2就可以了
D.Anticube
给出$n$个两两不同的数，选出一些数使得不存在两个数的积是完全立方数，求能选出的最大数量
sol：套路
把每个数分解质因数，求出他们每个质因数次数膜3的值
然后每次选择两个“互补”的数中较大的那个数就可以了
因为数不超过${10^{10}}$，可以用不超过${10^{frac{10}{3}}}$的质数来筛
筛掉的这些数可以求出最简表示和补数
剩下的数都可以分成不超过两个质因子
然后就完全平方判一下就可以了
E.Sequential operations on Sequence
一个由$1,2,3,4,...,n$组成的数列，有$Q$次操作，每次操作包含一个$q_i$表示将数列无限重复，然后取前$q_i$项组成一个新的数列
$q_i leq 10 ^ {18}$
求最后数列中$1$到$n$各出现了多少次
sol：
首先，如果前面的$q_i$大于后面的，那肯定是一次无效操作，我们可以删去
于是$q_i$递增
然后...就是神仙操作了
我们记一个$f_x$表示“第$x$次操作后的序列在最后的序列中出现了多少次”
显然，第$i$次操作后的序列肯定是由很多次第$i - 1$次操作后的序列加上一段第$i - 1$次操作后的序列的前缀组成
完整的部分显然是可以直接拿$f_{x- 1}$转移到$f_x$的
考虑剩下的一段前缀
剩下的一段前缀，肯定是由$x - 1$之前的某个操作后的序列搞出来的
我们可以二分这个序列是第几次操作后的序列
二分得到一个$ans$，它会对这个前缀产生一些贡献，可能还会再剩下一些
但剩下的不会超过$len(prefix)$ % $len(sequence(ans))$
然后就是一个结论，一个数膜一个比它小的数，最多膜log次
于是就是$O(log^2n)$的
F.Fraction of Fractal
给你一个黑白图案和一个分形次数$k$
每次分形是用$k-1$次分形当做“黑格”，大白方块当做“白格”如初始图案那样拼起来
问最后有多少黑色连通块，取膜
$k leq 10^{18}$
sol：
这么大 矩阵快速幂
比上一题好想一点...
我们设$x$为初始黑块数
首先，如果分形边界没有黑格，直接就是$x^{k}$
只有当它上下左右连通的时候才会产生影响
1.如果全都连通，直接就是$1$
2.如果仅有上下连通或者左右连通
因为旋转90度的话这两个就是一种情况了，我们现在只考虑左右连通的情况
我们可以dp
$f[i]$表示$i$阶分形黑色连通块数量
$g[i]$表示$i$阶分形有多少个联通块满足，当它跟它的复制左右拼起来时会和一个联通块连在一起
转移就是$f[i] = f[i - 1] * x - g[i - 1] * w$
然后$g[i] = f[i -1] * y$
$w$表示原图中有多少对左右相邻的黑格
$y$表示原图中最左边一列和最右边一列拼起来有多少黑色相邻
这样就是一个齐次递推式，我们可以矩阵乘法