• 图的基本算法(BFS和DFS)


    图是一种灵活的数据结构,一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点(V)表示,而对象之间的关系或者关联则通过图的边(E)来表示。
    图可以分为有向图和无向图,一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。
    在图的基本算法中,最初需要接触的就是图的遍历算法,根据访问节点的顺序,可分为广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)。


    广度优先搜索(BFS)
    广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前,先访问当前顶点的所有邻接结点。
    a .首先选择一个顶点作为起始结点,并将其染成灰色,其余结点为白色。
    b. 将起始结点放入队列中。
    c. 从队列首部选出一个顶点,并找出所有与之邻接的结点,将找到的邻接结点放入队列尾部,将已访问过结点涂成黑色,没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色,表示已经发现并且放入了队列,如果顶点的颜色是白色,表示还没有发现
    d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。
    基本就是出队的顶点变成黑色,在队列里的是灰色,还没入队的是白色。
    用一副图来表达这个流程如下:

     
    1.初始状态,从顶点1开始,队列={1}
     
    2.访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}
     
    3.访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}
     
    4.访问3的邻接结点,3出队,队列={4}
     
    5.访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空}

    从顶点1开始进行广度优先搜索:
    1. 初始状态,从顶点1开始,队列={1}
    2. 访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}
    3. 访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}
    4. 访问3的邻接结点,3出队,队列={4}
    5. 访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空}
      结点5对于1来说不可达。
      上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:
    int maze[5][5] = {
        { 0, 1, 1, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 1, 0 },
        { 0, 1, 1, 1, 0 },
        { 1, 0, 0, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 1, 0 }
    };
    
    

    BFS核心代码如下:

    #include <iostream>
    #include <queue>
    #define N 5
    using namespace std;
    int maze[N][N] = {
        { 0, 1, 1, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 1, 0 },
        { 0, 1, 1, 1, 0 },
        { 1, 0, 0, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 1, 0 }
    };
    int visited[N + 1] = { 0, };
    void BFS(int start)
    {
        queue<int> Q;
        Q.push(start);
        visited[start] = 1;
        while (!Q.empty())
        {
            int front = Q.front();
            cout << front << " ";
            Q.pop();
            for (int i = 1; i <= N; i++)
            {
                if (!visited[i] && maze[front - 1][i - 1] == 1)
                {
                    visited[i] = 1;
                    Q.push(i);
                }
            }
        }
    }
    int main()
    {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
        {
            if (visited[i] == 1)
                continue;
            BFS(i);
        }
        return 0;
    }

    深度优先搜索(DFS)
    深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后,需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。
    初始条件下所有节点为白色,选择一个作为起始顶点,按照如下步骤遍历:
    a. 选择起始顶点涂成灰色,表示还未访问
    b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个,继续这个过程(即再寻找邻接结点的邻接结点),一直深入下去,直到一个顶点没有邻接结点了,涂黑它,表示访问过了
    c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点,再找这个上一层顶点的其余邻接结点,继续如上操作,如果所有邻接结点往下都访问过了,就把自己涂黑,再回溯到更上一层。
    d. 上一层继续做如上操作,知道所有顶点都访问过。
    用图可以更清楚的表达这个过程:

     
    1.初始状态,从顶点1开始

     
    2.依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3

     
    3.从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5

     
    4.从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2

     
    5.从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1

     
    6.从顶点4开始访问,并终止于顶点4

    从顶点1开始做深度搜索:
    1. 初始状态,从顶点1开始
    2. 依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3
    3. 从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5
    4. 从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2
    5. 从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1
    6. 从顶点4开始访问,并终止于顶点4

    上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:

    int maze[5][5] = {
        { 0, 1, 1, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 },
        { 1, 1, 0, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 }
    };
    

    DFS核心代码如下(递归实现):

    #include <iostream>
    #define N 5
    using namespace std;
    int maze[N][N] = {
        { 0, 1, 1, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 },
        { 1, 1, 0, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 }
    };
    int visited[N + 1] = { 0, };
    void DFS(int start)
    {
        visited[start] = 1;
        for (int i = 1; i <= N; i++)
        {
            if (!visited[i] && maze[start - 1][i - 1] == 1)
                DFS(i);
        }
        cout << start << " ";
    }
    int main()
    {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
        {
            if (visited[i] == 1)
                continue;
            DFS(i);
        }
        return 0;
    }

    非递归实现如下,借助一个栈:

    #include <iostream>
    #include <stack>
    #define N 5
    using namespace std;
    int maze[N][N] = {
        { 0, 1, 1, 0, 0 },
        { 0, 0, 1, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 },
        { 1, 1, 0, 0, 1 },
        { 0, 0, 1, 0, 0 }
    };
    int visited[N + 1] = { 0, };
    void DFS(int start)
    {
        stack<int> s;
        s.push(start);
        visited[start] = 1;
        bool is_push = false;
        while (!s.empty())
        {
            is_push = false;
            int v = s.top();
            for (int i = 1; i <= N; i++)
            {
                if (maze[v - 1][i - 1] == 1 && !visited[i])
                {
                    visited[i] = 1;
                    s.push(i);
                    is_push = true;
                    break;
                }
            }
            if (!is_push)
            {
                cout << v << " ";
                s.pop();
            }
    
        }
    }
    int main()
    {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
        {
            if (visited[i] == 1)
                continue;
            DFS(i);
        }
        return 0;
    }

    有的DFS是先访问读取到的结点,等回溯时就不再输出该结点,也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同,思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。



    作者:卡巴拉的树
    链接:https://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8
    來源:简书
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
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