《算法竞赛进阶指南》 #0x61 图论

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/punch_the_clock/6/

最短路有很多种解法：

BFS

只适用于边权为1的图。

DP

只适用于DAG的解法，当一个点不存在入边，那么他的答案是可以立刻确定的。这个算法除了DAG以外没有任何要求，可以跑带负权的图。

Dijkstra

高效、稳定的单源最短路算法，适用于处理非负权边的情况。

复杂度为： (O((n+m)log(n+m)))

int n;
vector<pii> G[MAXN + 5];

bool vis[MAXN + 5];
int dis[MAXN + 5];
priority_queue<pii> PQ;

void Dijkstra(int s) {    
    while(!PQ.empty())
        PQ.pop();
    memset(vis, 0, sizeof(vis[0]) * (n + 1));
    memset(dis, INF, sizeof(dis[0]) * (n + 1));
    dis[s] = 0;
    PQ.push({-dis[s], s});
    while(!PQ.empty()) {
        int u = PQ.top().second;
        PQ.pop();
        if(vis[u])
            continue;
        vis[u] = 1;
        for(auto &e : G[u]) {
            int v = e.first, w = e.second;
            if(dis[u] + w < dis[v]) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                PQ.push({-dis[v], v});
            }
        }
    }
    return;
}

常见的技巧有：

反向建图：源点为整个点击，汇点却只有单个，这时可能把边反向。

分层建图：指定某些边可以使用一些特殊性质，比如可以使用一些魔法降低边的权值，但是魔法力量有限。这种问题一般魔法力量的范围不会太大，刚刚好可以把原图的每个点都拆成魔法力量的范围这么多，注意提取边的公共性质来减少边的存储。

多个点同时作为源点：区别于多源最短路，这里求源点集到每个点的最短路，可以建一个超级源点，然后向源点集连权值为0的边，或者直接把整个点集都全部丢到 PQ 里面。

单源单汇：类似双向BFS，退出的时候会快一点。或者在汇点被push从PQ中pop出去的同时退出也可以加速。

双端BFS

又称0-1BFS，使用双端队列代替队列的BFS，适用于边权值只有0和1的图，也可以理解为手动控制优先队列的Dijkstra算法（事实上这几个都没什么区别）。

复杂度为： (O(n+m))

vector<pii> G[MAXN + 5];

int dis[MAXN + 5];

deque<int> DQ;
void BFS(int s, int Limit) {
    DQ.clear();
    memset(dis, INF, sizeof(dis[0]) * (n + 1));
    dis[s] = 0;
    DQ.push_back(s);
    while(!DQ.empty()) {
        int u = DQ.front();
        DQ.pop_front();
        if(u == n)
            break;
        for(auto &e : G[u]) {
            int v = e.first, w = e.second;
            if(w == 0) {
                if(dis[u] < dis[v]) {
                    dis[v] = dis[u];
                    DQ.push_front(v);
                }
            } else {
                if(dis[u] + 1 < dis[v]) {
                    dis[v] = dis[u] + 1;
                    DQ.push_back(v);
                }
            }
        }
    }
    return;
}

技巧：

有可能可以把一些问题转换成0-1BFS来解决，例如下面的340，是求最大值+分层建图，因为可以二分最大值，然后根据与最大值的关系来区分边权是0还是1，分层建图的同时就是进行BFS的过程。

SPFA

又称“队列优化的Bellman-Ford算法”，复杂度是很假的，最坏可以退化到 (O(nm)) 。适用于任何图，若不存在从源点出发能到达的负环，则SPFA可以计算出单源最短路，否则会在同一个节点入队超过n次之后报告存在负环。

Floyd

实现非常简单的，任意两点间的最短路，也可以正确检测出负环。（Floyd结束后存在自己到自己的最短路为负数的点，那么可以无限绕圈圈）缺点是复杂度过大。只适用于很小的图。

340. 通信线路

题意：在郊区有 N 座通信基站，P 条双向电缆，第 i 条电缆连接基站 Ai 和 Bi。特别地，1 号基站是通信公司的总站，N 号基站位于一座农场中。现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 i 条电缆需要花费 Li 。电话公司正在举行优惠活动。农场主可以指定一条从 1 号基站到 N 号基站的路径，并指定路径上不超过 K 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。求至少用多少钱可以完成升级。

数据范围：

0≤K<N≤1000,
1≤P≤10000,
1≤Li≤1000000

题解：

分层图Dijkstra

从特殊到一般，先考虑 K=0 的情形，这个时候是要找一条最短路，只不过不是加法运算而是 max 运算，用 Dijkstra 算法可以直接求解。注意到好像以前做过这类题目（貌似第一次见是2018年多校）都从分层图去考虑。观察一下数据范围，确实可以建分层图。

把一个点拆成 K+1 个点，二元组 (id,k) 表示编号为 id 的点已经使用了 k 次免费的状态，那么原本的边也拆成超级多条边，不过非常容易注意到这些边可以高度压缩。

复杂度为 (O(n*k*log(n*k))) 。

vector写法：

const int MAXNK = 1000 * 1001;

int n, p, k;
vector<pii> G[MAXNK + 5];

int id_ki_pos(int id, int ki) {
    return (id - 1) * (k + 1) + ki + 1;
}

int pos_id(int pos) {
    return (pos - 1) / (k + 1) + 1;
}

int pos_ki(int pos) {
    return (pos - 1) % (k + 1);
}

bool vis[MAXNK + 5];
int dis[MAXNK + 5];
priority_queue<pii> PQ;

void Dijkstra(int sid) {
    while(!PQ.empty())
        PQ.pop();
    memset(vis, 0, sizeof(vis[0]) * (n + 1) * (k + 1));
    memset(dis, INF, sizeof(dis[0]) * (n + 1) * (k + 1));
    int spos = id_ki_pos(sid, 0);
    dis[spos] = 0;
    PQ.push({-dis[spos], spos});
    while(!PQ.empty()) {
        int upos = PQ.top().second;
        PQ.pop();
        if(vis[upos])
            continue;
        vis[upos] = 1;
        int uid = pos_id(upos);
        int uki = pos_ki(upos);
        if(uid == n)
            break;
        for(auto &e : G[uid]) {
            int vid = e.first, w = e.second;
            {
                int v0pos = id_ki_pos(vid, uki);
                if(max(dis[upos], w) < dis[v0pos]) {
                    dis[v0pos] = max(dis[upos], w);
                    PQ.push({-dis[v0pos], v0pos});
                }
            }
            if(uki < k) {
                int v1pos = id_ki_pos(vid, uki + 1);
                if(max(dis[upos], 0) < dis[v1pos]) {
                    dis[v1pos] = max(dis[upos], 0);
                    PQ.push({-dis[v1pos], v1pos});
                }
            }
        }
    }
    return;
}

void TestCase() {
    scanf("%d%d%d", &n, &p, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        G[i].clear();
    for(int i = 1; i <= p; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        G[u].push_back({v, w});
        G[v].push_back({u, w});
    }
    Dijkstra(1);
    int ans = INF;
    for(int ki = 0; ki <= k; ++ki)
        ans = min(ans, dis[id_ki_pos(n, ki)]);
    if(ans == INF)
        ans = -1;
    printf("%d
", ans);
    return;
}

链式前向星写法：

const int MAXNK = 1000 * 1001;
const int MAXP = 1000000;

int n, p, k;

int G[MAXNK + 5];
struct Edge {
    int v, w, nxt;
    Edge() {}
    Edge(int v, int w, int nxt): v(v), w(w), nxt(nxt) {}
} edge[MAXP * 2 + 5];
int top;

void Init() {
    top = 0;
    memset(G, -1, sizeof(G[0]) * (n + 1));
}

void AddEdge(int u, int v, int w) {
    ++top;
    edge[top] = Edge(v, w, G[u]);
    G[u] = top;
}

int id_ki_pos(int id, int ki) {
    return (id - 1) * (k + 1) + ki + 1;
}

int pos_id(int pos) {
    return (pos - 1) / (k + 1) + 1;
}

int pos_ki(int pos) {
    return (pos - 1) % (k + 1);
}

bool vis[MAXNK + 5];
int dis[MAXNK + 5];
priority_queue<pii> PQ;

void Dijkstra(int sid) {
    while(!PQ.empty())
        PQ.pop();
    memset(vis, 0, sizeof(vis[0]) * (n + 1) * (k + 1));
    memset(dis, INF, sizeof(dis[0]) * (n + 1) * (k + 1));
    int spos = id_ki_pos(sid, 0);
    dis[spos] = 0;
    PQ.push({-dis[spos], spos});
    while(!PQ.empty()) {
        int upos = PQ.top().second;
        PQ.pop();
        if(vis[upos])
            continue;
        vis[upos] = 1;
        int uid = pos_id(upos);
        int uki = pos_ki(upos);
        if(uid == n)
            break;
        for(int eid = G[uid]; eid != -1; eid = edge[eid].nxt) {
            int vid = edge[eid].v, w = edge[eid].w;
            {
                int v0pos = id_ki_pos(vid, uki);
                if(max(dis[upos], w) < dis[v0pos]) {
                    dis[v0pos] = max(dis[upos], w);
                    PQ.push({-dis[v0pos], v0pos});
                }
            }
            if(uki < k) {
                int v1pos = id_ki_pos(vid, uki + 1);
                if(max(dis[upos], 0) < dis[v1pos]) {
                    dis[v1pos] = max(dis[upos], 0);
                    PQ.push({-dis[v1pos], v1pos});
                }
            }
        }
    }
    return;
}

void TestCase() {
    scanf("%d%d%d", &n, &p, &k);
    Init();
    for(int i = 1; i <= p; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        AddEdge(u, v, w);
        AddEdge(v, u, w);
    }
    Dijkstra(1);
    int ans = INF;
    for(int ki = 0; ki <= k; ++ki)
        ans = min(ans, dis[id_ki_pos(n, ki)]);
    if(ans == INF)
        ans = -1;
    printf("%d
", ans);
    return;
}

收获：

这些下标比较烦人，要先在纸上画清楚。
边数比较大，层数也比较大，全部加边容易卡空间，我看见那个全部加边的写法简直是扯淡。
链式前向星的速度比vector显著快，大概快6倍，极有可能是没有打开O2优化。

二分+双端BFS

题目要求的是最小化最大值，是一种常见的二分+验证的题目，假如二分枚举一个最大值maxw，只需要把所有<=maxw的边记作cost=0（不使用免费次数），而把>maxw的边记作cost=1（使用1次免费次数），变成经典的0-1BFS问题，用双端队列解决，cost=1的从队尾加入，cost=0的从队首加入。

实际证明这个算法是最快的，也非常省空间，因为双端BFS常数极小，且验证速度极快（验证速度 (O(n)) ）。

复杂度为 (O(n*log MAXL)) 。

const int MAXN = 1000;
const int MAXP = 1000000;

int n, p, k;

int G[MAXN + 5];
struct Edge {
    int v, w, nxt;
    Edge() {}
    Edge(int v, int w, int nxt): v(v), w(w), nxt(nxt) {}
} edge[MAXP * 2 + 5];
int top;

void Init() {
    top = 0;
    memset(G, -1, sizeof(G[0]) * (n + 1));
}

void AddEdge(int u, int v, int w) {
    ++top;
    edge[top] = Edge(v, w, G[u]);
    G[u] = top;
}

int dis[MAXN + 5];

deque<int> DQ;
bool BFS(int s, int Limit) {
    DQ.clear();
    memset(dis, INF, sizeof(dis[0]) * (n + 1));
    dis[s] = 0;
    DQ.push_back(s);
    while(!DQ.empty()) {
        int u = DQ.front();
        DQ.pop_front();
        if(u == n)
            break;
        for(int eid = G[u]; eid != -1; eid = edge[eid].nxt) {
            int v = edge[eid].v, w = edge[eid].w;
            if(w <= Limit) {
                if(dis[u] < dis[v]) {
                    dis[v] = dis[u];
                    DQ.push_front(v);
                }
            } else {
                if(dis[u] + 1 < dis[v]) {
                    dis[v] = dis[u] + 1;
                    DQ.push_back(v);
                }
            }
        }
    }
    return dis[n] <= k;
}

void TestCase() {
    scanf("%d%d%d", &n, &p, &k);
    Init();
    for(int i = 1; i <= p; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        AddEdge(u, v, w);
        AddEdge(v, u, w);
    }
    int L = 0, R = INF, ans;
    while(1) {
        int M = (L + R) >> 1;
        if(L == M) {
            if(BFS(1, L)) {
                ans = L;
                break;
            }
            ans = R;
            break;
        }
        if(BFS(1, M))
            R = M;
        else
            L = M + 1;
    }
    if(ans == INF)
        ans = -1;
    printf("%d
", ans);
    return;
}

收获：

最小化最大值的问题，可以尝试转化成二分枚举+快速验证。
不要搞错二分的值域，这里从0开始。
二分时初始R为无穷大，二分达到无穷大说明无解。
BFS不需要vis数组。

341. 最优贸易

题意：C国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到C国旅游。当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。设C国 n 个城市的标号从 1~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。因为阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

数据范围：

1≤n≤100000,
1≤m≤500000,
1≤各城市水晶球价格≤100

题解：因为各个城市可以反复经过，所以问题变成了这样：从1号城市出发，到达x号城市，购买一个水晶球；从x号城市出发，到达y号城市，卖出一个水晶球；从y号城市出发，到达n号城市。看一下数据，水晶球的价格貌似是突破口？

假算法：这道题有个非常明显的强连通分量的解法，首先把所有的强连通分量缩点，记录每个新点的最大值、最小值，然后变成一个DAG。再从新图中包含原图的1号点为源点找出到其他点的路径上的最小值（Dijkstra），然后从新图中包含原图的n号点为汇点找出其他点到汇点的路径上的最大值（反向图上Dijkstra），然后对遍历一遍差取最大值。

const int MAXN = 1e5;

int n, m;
int price[MAXN + 5];

namespace SCC {
    int n;
    vector<int> G[MAXN + 5], BG[MAXN + 5];

    int c1[MAXN + 5], cntc1;
    int c2[MAXN + 5], cntc2;
    int s[MAXN + 5], cnts;

    int n2;
    vector<int> V2[MAXN + 5];
    vector<int> G2[MAXN + 5], BG2[MAXN + 5];

    void Init(int _n) {
        n = _n;
        cntc1 = 0, cntc2 = 0, cnts = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
            BG[i].clear();
            c1[i] = 0;
            c2[i] = 0;
            s[i] = 0;
            V2[i].clear();
            G2[i].clear();
            BG2[i].clear();
        }
        return;
    }

    void AddEdge(int u, int v) {
        G[u].push_back(v);
        BG[v].push_back(u);
        return;
    }

    void dfs1(int u) {
        c1[u] = cntc1;
        for(auto &v : G[u]) {
            if(!c1[v])
                dfs1(v);
        }
        s[++cnts] = u;
    }

    void dfs2(int u) {
        V2[cntc2].push_back(u);
        c2[u] = cntc2;
        for(auto &v : BG[u]) {
            if(!c2[v])
                dfs2(v);
        }
        return;
    }

    void Kosaraju() {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if(!c1[i]) {
                ++cntc1;
                dfs1(i);
            }
        }
        for(int i = n; i >= 1; --i) {
            if(!c2[s[i]]) {
                ++cntc2;
                dfs2(s[i]);
            }
        }
        return;
    }

    void Build() {
        n2 = cntc2;
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            for(auto &u : V2[i]) {
                for(auto &v : G[u]) {
                    if(c2[v] != i) {
                        G2[i].push_back(c2[v]);
                        BG2[c2[v]].push_back(i);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            sort(G2[i].begin(), G2[i].end());
            G2[i].erase(unique(G2[i].begin(), G2[i].end()), G2[i].end());
            sort(BG2[i].begin(), BG2[i].end());
            BG2[i].erase(unique(BG2[i].begin(), BG2[i].end()), BG2[i].end());
        }
        return;
    }

    int minV2[MAXN + 5], maxV2[MAXN + 5];

    bool vis[MAXN + 5];
    priority_queue<pii> PQ;

    int mindis[MAXN + 5];

    void DijkstraMin(int s) {
        while(!PQ.empty())
            PQ.pop();
        memset(vis, 0, sizeof(vis[0]) * (n2 + 1));
        memset(mindis, INF, sizeof(mindis[0]) * (n2 + 1));
        mindis[s] = minV2[s];
        PQ.push({-mindis[s], s});
        while(!PQ.empty()) {
            int u = PQ.top().second;
            PQ.pop();
            if(vis[u])
                continue;
            vis[u] = 1;
            for(auto &v : G2[u]) {
                if(mindis[u] < mindis[v]) {
                    mindis[v] = min(minV2[v], mindis[u]);
                    PQ.push({-mindis[v], v});
                }
            }
        }
        return;
    }

    int maxdis[MAXN + 5];

    void DijkstraMax(int s) {
        while(!PQ.empty())
            PQ.pop();
        memset(vis, 0, sizeof(vis[0]) * (n2 + 1));
        memset(maxdis, -INF, sizeof(maxdis[0]) * (n2 + 1));
        maxdis[s] = maxV2[s];
        PQ.push({maxdis[s], s});
        while(!PQ.empty()) {
            int u = PQ.top().second;
            PQ.pop();
            if(vis[u])
                continue;
            vis[u] = 1;
            for(auto &v : BG2[u]) {
                if(maxdis[u] > maxdis[v]) {
                    maxdis[v] = max(maxV2[v], maxdis[u]);
                    PQ.push({maxdis[v], v});
                }
            }
        }
        return;
    }

    void Solve() {
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            minV2[i] = INF, maxV2[i] = -INF;
            for(auto &u : V2[i]) {
                minV2[i] = min(minV2[i], price[u]);
                maxV2[i] = max(maxV2[i], price[u]);
            }
        }
        DijkstraMin(c2[1]);
        DijkstraMax(c2[n]);
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n2; ++i)
            ans = max(ans, maxdis[i] - mindis[i]);
        printf("%d
", ans);
        return;
    }
}

void TestCase() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &price[i]);
    SCC::Init(n);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        SCC::AddEdge(u, v);
        if(w == 2)
            SCC::AddEdge(v, u);
    }
    SCC::Kosaraju();
    SCC::Build();
    SCC::Solve();
    return;
}

注意点权Dijkstra也是要先初始化为无穷（而不是对应的点权），然后在vis节点（可以在入PQ的时候，也可以在出PQ的时候，在入PQ的时候更新理论上会更快）的时候才把对应的点权更新上去。因为dis[u]的含义是“从s点到u点经过的所有点的点权的最小值”。

上面这个做法会不会是假做法呢？好像是挺假的，群友们也说DAG上跑Dijkstra有问题？我想到了一个反例：

这样缩点之后也是完全一样的图，Dijkstra的过程是这样：

取出1号点，把{2,3号}和{4,2号}加入PQ;
取出3号点，把{2,5号}加入PQ;
取出5号点，更新了错误的最小值为2。（因为1->2->4->5才是最小值1，在4号点取得最小值）。

不过虽然Dijkstra跑出了错误的结果，但是我这个假算法的鲁棒性也太强了吧。

构造一个这样的图：

生成好看的图的工具是：https://csacademy.com/app/graph_editor/

这个图里面，计算从40开始的最小价格，Dijkstra会直接把50标记为40，而不是正确的10。反过来计算到达50的最大价格，又会把10标记成20，而不是正确的90。原因是在于Dijkstra被局部的最优情况欺骗了。

对应的数据是：

7 8
40 100 10 20 90 15 50
1 2
1 7
2 3
3 4
3 5
4 7
5 6
6 7

但是好像还是没卡掉，这个假算法的鲁棒性也太强了，因为他甚至会更新已经vis过的节点！也就是说Dijkstra去掉那个跳过已vis节点会更加鲁棒？但是这个算法确实是错的，只需要在正确答案更新其后继节点之前，保证后继节点已经被vis过，那么后继节点的新信息就不会继续传递给其后继节点。

但是缩点之后DP是肯定没有错的，当一个点已经没有任何入边，那么他不可能再进行修改，他的答案也随之确定。

const int MAXN = 1e5;

int n, m;
int price[MAXN + 5];

namespace SCC {
    int n;
    vector<int> G[MAXN + 5], BG[MAXN + 5];

    int c1[MAXN + 5], cntc1;
    int c2[MAXN + 5], cntc2;
    int s[MAXN + 5], cnts;

    int n2;
    vector<int> V2[MAXN + 5];
    vector<int> G2[MAXN + 5], BG2[MAXN + 5];

    void Init(int _n) {
        n = _n;
        cntc1 = 0, cntc2 = 0, cnts = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
            BG[i].clear();
            c1[i] = 0;
            c2[i] = 0;
            s[i] = 0;
            V2[i].clear();
            G2[i].clear();
            BG2[i].clear();
        }
        return;
    }

    void AddEdge(int u, int v) {
        G[u].push_back(v);
        BG[v].push_back(u);
        return;
    }

    void dfs1(int u) {
        c1[u] = cntc1;
        for(auto &v : G[u]) {
            if(!c1[v])
                dfs1(v);
        }
        s[++cnts] = u;
    }

    void dfs2(int u) {
        V2[cntc2].push_back(u);
        c2[u] = cntc2;
        for(auto &v : BG[u]) {
            if(!c2[v])
                dfs2(v);
        }
        return;
    }

    void Kosaraju() {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if(!c1[i]) {
                ++cntc1;
                dfs1(i);
            }
        }
        for(int i = n; i >= 1; --i) {
            if(!c2[s[i]]) {
                ++cntc2;
                dfs2(s[i]);
            }
        }
        return;
    }

    void Build() {
        n2 = cntc2;
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            for(auto &u : V2[i]) {
                for(auto &v : G[u]) {
                    if(c2[v] != i) {
                        G2[i].push_back(c2[v]);
                        BG2[c2[v]].push_back(i);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            sort(G2[i].begin(), G2[i].end());
            G2[i].erase(unique(G2[i].begin(), G2[i].end()), G2[i].end());
            sort(BG2[i].begin(), BG2[i].end());
            BG2[i].erase(unique(BG2[i].begin(), BG2[i].end()), BG2[i].end());
        }
        return;
    }

    int minV2[MAXN + 5], maxV2[MAXN + 5];
    int indeg[MAXN + 5], outdeg[MAXN + 5];
    int vis1[MAXN + 5], visn[MAXN + 5];
    queue<int> Q;

    void DPin() {
        while(!Q.empty())
            Q.pop();
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            vis1[i] = 0;
            indeg[i] = BG2[i].size();
            if(indeg[i] == 0)
                Q.push(i);
        }
        while(!Q.empty()) {
            int u = Q.front();
            Q.pop();
            if(c2[1] == u)
                vis1[u] = 1;
            for(auto &v : G2[u]) {
                --indeg[v];
                if(indeg[v] == 0)
                    Q.push(v);
                if(vis1[u] == 1) {
                    minV2[v] = min(minV2[v], minV2[u]);
                    vis1[v] = 1;
                }
            }
        }
    }

    void DPout() {
        while(!Q.empty())
            Q.pop();
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            visn[i] = 0;
            outdeg[i] = G2[i].size();
            if(outdeg[i] == 0)
                Q.push(i);
        }
        while(!Q.empty()) {
            int u = Q.front();
            Q.pop();
            if(c2[n] == u)
                visn[u] = 1;
            for(auto &v : BG2[u]) {
                --outdeg[v];
                if(outdeg[v] == 0)
                    Q.push(v);
                if(visn[u] == 1) {
                    maxV2[v] = max(maxV2[v], maxV2[u]);
                    visn[v] = 1;
                }
            }
        }
    }

    void Solve() {
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            minV2[i] = INF, maxV2[i] = -INF;
            for(auto &u : V2[i]) {
                minV2[i] = min(minV2[i], price[u]);
                maxV2[i] = max(maxV2[i], price[u]);
            }
            indeg[i] = BG2[i].size();
            outdeg[i] = G2[i].size();
        }
        DPin();
        DPout();
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n2; ++i) {
            if(vis1[i] == 1 && visn[i] == 1)
                ans = max(ans, maxV2[i] - minV2[i]);
        }
        printf("%d
", ans);
        return;
    }
}

void TestCase() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &price[i]);
    SCC::Init(n);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        SCC::AddEdge(u, v);
        if(w == 2)
            SCC::AddEdge(v, u);
    }
    SCC::Kosaraju();
    SCC::Build();
    SCC::Solve();
    return;
}

或者用直接进行正反两次SPFA就可以了，毕竟这个假算法简单又无脑。

收获：

假算法甚至也可以通过题目，没招的话可以试试看假一波，假如不是对着我的假算法卡，非常难卡。
居然没有故意卡SPFA，正式区域赛不到没招不要上SPFA。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/KisekiPurin2019/p/12667294.html