• POJ1061 青蛙的约会(扩展欧几里得)题解


    青蛙的约会
    Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K
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    Description

    两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
    我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

    Input

    输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

    Output

    输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

    Sample Input

    1 2 3 4 5

    Sample Output

    4


    思路:

    这题会用到扩展欧几里得,那么先解释一下exgcd,不然不会用...

    对于不完全为0的整数a,b,存在整数x,y使得a*x+b*y=gcd(a,b)成立,所以exgcd可以用来解决类似a*x+b*y=c的问题。

    详细的证明给出链接:证明 证明2 

    我先来看关于a*x+b*y=c的问题:我们可以两边同除gcd如果c能被gcd整除则有解,否则无解。然后我们计算得到的x,y要*c/gcd才是真正的解x1,y1(因为本来就是求解a*x+b*y=gcd(a,b)这个方程的);然后x,y的解集为x=x1+b/gcd*t,y=y0-a/gcd*t。

    最后那里的最小整数解的证明可以看题解

    代码:

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<cctype>
    #include<queue>
    #include<cmath>
    #include<string>
    #include<map>
    #include<stack> 
    #include<set>
    #include<vector>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #define INF 0x3f3f3f3f
    #define ll long long
    const int N=2000000000;
    const int MAX=2100000000;
    const int MOD=1000; 
    using namespace std;
    
    ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    	ll d,t;
    	if(b==0){
    		x=1;
    		y=0;
    		return a;
    	}
    	d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    	t=x-a/b*y;
    	x=y;
    	y=t;
    	return d;	//返回gcd(a,b) 
    }
    int main(){
    	ll x,y,m,n,L,a,b,c,ans,X,Y,gcd;
    	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    	a=m-n;
    	b=L;
    	c=y-x;
    	if(a<0){
    		a=-1;
    		c=-c;
    	}
    	gcd=ex_gcd(a,b,X,Y);
    	if(c%gcd!=0){
    		printf("Impossible
    ");
    	}
    	else{
    		X=X*c/gcd;
    		X=(X%(b/gcd)+(b/gcd))%(b/gcd);
    		printf("%lld
    ",X);
    	}
    	return 0;
    }



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