青蛙的约会
Time Limit: 1000MS | Memory Limit: 10000K | |
Total Submissions: 124016 | Accepted: 26479 |
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
思路:
这题会用到扩展欧几里得,那么先解释一下exgcd,不然不会用...
对于不完全为0的整数a,b,存在整数x,y使得a*x+b*y=gcd(a,b)成立,所以exgcd可以用来解决类似a*x+b*y=c的问题。
我先来看关于a*x+b*y=c的问题:我们可以两边同除gcd如果c能被gcd整除则有解,否则无解。然后我们计算得到的x,y要*c/gcd才是真正的解x1,y1(因为本来就是求解a*x+b*y=gcd(a,b)这个方程的);然后x,y的解集为x=x1+b/gcd*t,y=y0-a/gcd*t。
最后那里的最小整数解的证明可以看题解。
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int N=2000000000;
const int MAX=2100000000;
const int MOD=1000;
using namespace std;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
ll d,t;
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
t=x-a/b*y;
x=y;
y=t;
return d; //返回gcd(a,b)
}
int main(){
ll x,y,m,n,L,a,b,c,ans,X,Y,gcd;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
a=m-n;
b=L;
c=y-x;
if(a<0){
a=-1;
c=-c;
}
gcd=ex_gcd(a,b,X,Y);
if(c%gcd!=0){
printf("Impossible
");
}
else{
X=X*c/gcd;
X=(X%(b/gcd)+(b/gcd))%(b/gcd);
printf("%lld
",X);
}
return 0;
}