1、概述
树状数组(binary indexed tree)，是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说，树状数组通常用于解决以下问题：数组{a}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？
2、树状数组基本操作
传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。
给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足
C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]
其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！
则我们称C为树状数组。
下面的问题是，给定i，如何求2^k?
答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)
下面进行解释：
以i=6为例（注意：a_x表示数字a是x进制表示形式）：
(i)_10 = (0110)_2
(i-1)_10=(0101)_2
i xor (i-1) =(0011)_2
i and (i xor (i-1)) =(0010)_2
2^k = 2
C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]
数组C的具体含义如下图所示：
当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。
树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。
下面给出树状数组的C语言实现：
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//求2^kintlowbit(intt){ returnt & ( t ^ ( t - 1 ) );}//求前n项和intsum(intend){ intsum = 0; while(end > 0) { sum += in[end]; end -= lowbit(end); } returnsum;}//增加某个元素的大小voidplus(intpos, intnum){ while(pos <= n) { in[pos] += num; pos += lowbit(pos); }} |
3、扩展——二维树状数组
一维树状数组很容易扩展到二维，二维树状数组如下所示：
C[x][y] = sum(A[i][j])
其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y
4、应用
（1） 一维树状数组：
参见：http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html
（2） 二维树状数组：
一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和
要求对每次查询，输出结果
5、总结
树状数组最初是在设计压缩算法时发现的（见参考资料1），现在也会经常用语维护子序列和。它与线段树（具体见：数据结构之线段树）比较在思想上类似，比线段树节省空间且编程复杂度低，但使用范围比线段树小（如查询每个区间最小值问题）。
6、参考资料
（1） Binary Indexed Trees：
http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees
（2） 吴豪文章《树状数组》：
http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/zip/treearray.zip
（3） 郭炜文章《线段树和树状数组》：
http://poj.org/summerschool/1_interval_tree.pdf
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