1、牛顿写东西并没有希望别人能看得懂，只要和自己同智商的能懂就好
2、拓扑就是在研究连续形变下会保持不变的东西，点集拓扑是将分析中的连续性讲清楚并做推广
3、微分几何就是一直在求导
4、这门微分几何课整学期就是为了引进曲率这个目标
5、14 世纪西欧人对东方的想像就如同今天中国人对美国的想像
6、说 Marco Polo 到过中国的人就是他自己，没有其余别的记载
7、葡萄牙人来到南海的小岛跟中国的皇帝说他们想赛马，结果一赛就赛到了 1999 年
8、你要是希望自己说的话都没错，那就用哲学的方式说，这样错的就会是别人
9、你们当中的人应该都是以奉献于物理研究为终身目的，至少刚进来的时候是这样想的
10、复杂的原子交给化学家去研究，我们只研究氢原子
11、2012年的诺贝尔物理奖得主当年量子力学被当掉三次，所以成绩没有你们想的那么重要
12、不想上课的人赶紧退课把名额让出来，每次200人的教室都来不到一半
13、现在数学书上看到的人名绝大多数都是法国人，英国人才没几位
14、刻雕板的人都是工人，他们并不识字，刻错了也不知道，所以现在才这么多通同字
15、微分几何跟解析几何的差别就是能求导
16、学代数时一个普遍的毛病就是看书上证明时觉得每一步逻辑都是对的但是看过了也就过去了，并没有真正掌握
17、拓扑研究的是整体的性质，而微分几何研究的则是每个点的性质
18、能对代数感兴趣是一件很珍贵的事情
19、做老师的都很愿意春风化雨，但是很多学生却一开始就拒绝阳光拒绝雨
20、应该已经很多人跟你们洗脑说学好物理什么都能做了
21、当年我学拓扑时最痛苦就是觉得很多东西直观上好像都是对的，但是我却不能相信自己的几何直观
22、这解释起来很麻烦，所以我就不解释了，反正费马也这样
23、现在有很多最前沿的研究方向题目，在几十年前的苏联教材中已经有出现类似的习题
24、In China, sometimes it’s more dangerous to cross the street when the lights are green.
25、文艺复兴时期，绘画刺激几何，画家们思考要如何在平面中表现出三维景象，于是诞生了射影几何
26、严谨在数学中很重要，但是当你的数学到达一定修养后就可以不那么在乎严谨了
27、用恋人来讲解等价关系并不是个好例子，因为恋人不是很稳定、也可能不是唯一对应的
28、对于指标定理的感慨：世界是否和平是由那些战乱的地区决定的，而非由我们这些活在和平的地方所决定
29、微分几何最重要的概念就是描述弯曲
30、可数的重要性就是能用数学归纳法
31、几何的核心问题是分类
32、流形是个局部和欧氏空间差不多的空间
33、Manifold 这个词听起来就能弯来弯去
34、有个东西叫做绝对值，你们听过吗
35、Urysohn定理用集合来写比用几何来描述更确切
36、拓扑中的道路不是集合，而是个映射，这是为了方便作代数运算
37、柯西黎曼方程肯定是数学中最重要的方程，或许没有之一
38、微分几何如果不讲第二基本型的话其实就跟解析几何差不多
39、点集拓扑最原先的目的是为了将分析学严格化，只是 Cantor 和 Hausdorff 在这条路上越走越远
40、Lebesgue 证明了 n 维 Euclid 空间是 n 维的
41、Sudbury 做中微子实验时跟美国军方借了1000吨的重水，用完没损失几克，就全部还回去了
42、有空去听听讨论课，我不保证你能听懂，但可以了解一下最前沿的研究在干嘛
43、我之前一直以为富兰克林放风筝的故事是假的
44、微分几何不会做时就再多求一次导，可以多得到一些资讯
45、写书跟上课常常会有一种问题，我想讲的跟你认为你理解的之间总是有偏差
46、实验数据是神圣的，一定要认真对待，绝对不能擅自涂抹掉，必须光明正大的面对
47、你们会觉得紧致与连通有什么关系是因为平常看习惯实数轴了，其实他们是完全无关的拓扑概念
48、简单且不断重复的东西才是最重要的
49、几何有时很像物理，常常需要做一些实验，把那些通用的曲面搞清楚后，也就把一切都搞清楚了
50、极小的东西往往是对称的，这无法证明，只是个信仰
51、做工程的人在学完复变函数后都说只记得展开，而做理论物理的则会说留数定理在场论中很重要
52、通常当我们找不到好形容词时就会称他正则
53、课本中写的东西都是那些最漂亮的精华，因此读书时都觉得行云流水，但真正开始做研究时就会发现根本不是这么回事
54、百年前的年轻人都有个共同梦想，踏上两极的极点，就像今天的年轻人都有在北京买房的梦想
55、伟大的科学家都写journal，去看看Scott的《南极日记》或许能激励你很难被激励的心
56、如果你们之中有人将来能接触到排放政策，希望你们能站在科学的角度而不是经济的角度说话，这是我们的学生该有的责任
57、常常有学生跑来说为什么这里扣3分不扣2分，这不是个数学问题，所以我们也不在此纠缠
58、数学中未解的难题有很多，但解决后能产生新数学分枝的并不多
59、很多数学分枝在引入了复变函数后会有更美丽的结果
60、日本天皇的终战诏书中全文没提到战败或投降这种字，因此日本从来就不曾认输
61、Cauchy—Riemann方程是数学中最最重要的方程
62、微分几何多求几次导可能会得到新东西，所以我们愿意去求导
63、学微分几何还是要会算一些东西，不能只会说概念
64、你们这学期学完拓扑下学期其实就可以去听同调了，而且你们可能还会觉得学同调更轻松，因为在拓扑时已经受过这种新思维的冲击了，听同调时就麻木了
65、这可能是个哲学问题，拓扑上简单的东西代数上却不简单，而代数上简单的东西拓扑上也不简单
66、之后我们就要讲代数拓扑了，前半学期学得好可能是因为你分析或实变时学得好，但接下来又是全新的东西了
67、很多同学认为理论比例子重要，但其实恰恰相反，一个好的数学家，脑中要有好的问题和好的例子
68、由我这些年的教书经验，05年以前的学生都是很悠闲的，09年开始感觉到学生有一点烦躁，14年之后是非常焦躁，真不知道你们在忙什么
69、如果你们连一天不碰手机都做不到，还想干甚么大事
70、丘成桐的占有欲太强了，他认为他的学生们做的工作都是他的功劳，但通常老师会希望学生比自己厉害才是
71、做科研时，老师不一定总是对的，老师的知识面太广反而成为束缚
72、做研究时，当你能达到前人从未到达过的实验条件时，往往会有不能由过往的实验递推得到的发现
73、说 Nature,Science 是最好的杂志，影响因子越高越好都是没什么脑子的话，只能骗骗文科生
74、两东西同不胚或同不伦是很困难的问题，你要是遇到一个现在无法判断的可能得等个几百年后看有没有人能找出一个新的不变量来判断
75、我们的教育太著重于标准答案的技术操作了，但学完一门课后能提出的问题其水平才代表著你对学问理解得如何，而非你做题的状况
76、任意曲面间能等距变换的充分必要条件太困难了，可能根本找不到，因为这就像是要理解这世上所有不同的曲面度量般
77、去年我被你们范后宏老师蛊惑用俄罗斯的《现代几何学》来教课，结果不到期中学生们都跑光了
78、你们怎么只在乎考试
79、分析学中凑散度是很重要的思路
80、在解决二维的问题中，能凑出全纯的二次型往往是一大进展
81、你们要学著把算出来的东西整理成好看的样子，而至于怎么样才是好看的样子只能意会不可言传，历史上很多数学发现都是在把公式整理成对称的形式后得到的
82、你们以后进光学实验室要特别注意，要是有什么新的元件一定要赶紧做上标签，不然要是对于一个没有标签的东西再进行检测，这所要花的成本还高于直接新买一个
83、几何和分析是分不开的，微分方程进展到哪里，微分几何就进展到哪里