题目描述
小H是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。
她的面前浮现出一个长度为n的序列{ai}，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。
这个特殊区间满足，存在一个k(L <= k <= R)，并且对于任意的i(L <= i <= R)，ai都能被ak整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为R - L。
小H想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。
输入
第一行，一个整数n.
第二行，n个整数，代表ai.
输出
第一行两个整数，num和val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。
第二行num个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的L.
样例输入1
5
4 6 9 3 6
样例输出1
1 3
2
样例输入2
5
2 3 5 7 11
样例输出2
5 0
1 2 3 4 5
数据范围
30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.
60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.
80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.
100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.
这道题主要求的是最长区间长度，可以发现它是具有单调性的：对于一段区间，如果它是特殊区间，那么它一定有子区间是特殊区间。因此我们可以二分最长区间长度，对于每个二分出来的答案进行验证。那么怎么验证？可以发现特殊区间有几个很好的性质：1、ak一定是这段区间的最小值，因为如果有一个数ai比ak小，那ai一定不能被ak整除。2、ak一定是区间gcd，因为将所有ai都除以ak后，这段区间就变成了1，b1，b2……这些数gcd显然是1，再乘回ak后gcd就是ak了。那么只要比较一段区间最小值和gcd是否相同就能判断是否是特殊区间了。但如果暴力找区间最小值和区间gcd显然是不行的，因此要用ST表预处理出来g[i][j]和m[i][j]分别表示以j为起点往后2^i个数的gcd和最小值。再对于每个答案O(n)遍历所有起点判断并记录下来每个特殊区间的起点就OK了。每次验证是O(nlogn)，总时间复杂度是O(n*(logn)^2)。
最后附上代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int g[20][500010];
int m[20][500010];
int a[500010];
int l[500010];
int n;
int L,R;
int ans;
int cnt;
int q[500010];
int flag;
int gcd(int x,int y)
{
if(x<y)
{
swap(x,y);
}
if(y!=0)
{
return gcd(y,x%y);
}
else
{
return x;
}
}
bool check(int x)
{
cnt=0;
for(int i=1;i+x-1<=n;i++)
{
int s=l[x];
if(gcd(g[s][i],g[s][i+x-(1<<s)])==min(m[s][i],m[s][i+x-(1<<s)]))
{
q[++cnt]=i;
}
}
if(cnt!=0)
{
ans=max(ans,x);
return true;
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
g[0][i]=a[i];
m[0][i]=a[i];
}
for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)
{
for(int j=1;j+(1<<(i-1))<=n;j++)
{
g[i][j]=gcd(g[i-1][j],g[i-1][j+(1<<(i-1))]);
m[i][j]=min(m[i-1][j],m[i-1][j+(1<<(i-1))]);
}
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
l[i]=l[i>>1]+1;
}
L=1;
R=n;
while(L<R-1)
{
int mid=(L+R)>>1;
if(check(mid)==true)
{
L=mid;
}
else
{
R=mid;
}
}
bool o1=check(L);
bool o2=check(R);
bool o3=check(ans);
printf("%d %d
",cnt,ans-1);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
if(flag==0)
{
printf("%d",q[i]);
flag=1;
}
else
{
printf(" %d",q[i]);
}
}
}