[BJOI2019]奥术神杖——AC自动机+DP+分数规划+二分答案

题目链接：

[BJOI2019]奥术神杖

答案是$ans=sqrt[c]{prod_{i=1}^{c}v_{i}}=(prod_{i=1}^{c}v_{i})^{frac{1}{c}}$。

这样不大好求，我们将这个式子取$ln$，变成$ln ans=frac{1}{c}sum_{i=1}^{c}ln v_{i}$。

这显然是一个分数规划，每次二分一个答案$mid$，将每个串的权值都减去$mid$，那么只需要求最大价值是否大于$0$即可。

剩下的问题就是一个在$AC$自动机上的$DP$了，设$f[i][j]$表示在$AC$自动机上的点$j$，已经匹配的长度为$i$时的最大值，在$AC$自动机上转移即可。

在$DP$时还要记录一下每个状态从哪个点转移过来以便输出方案。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-5;
int end[2000];
double f[2000][2000];
int g[2000][2000];
int fail[2000];
int tr[2000][10];
int cnt;
double val[2000];
char ch[2000];
char s[2000];
int now;
int n,m;
int v;
double ans;
void build(char *ch,int v)
{
	int len=strlen(ch);
	now=0;
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int x=ch[i]-'0';
		if(!tr[now][x])
		{
			tr[now][x]=++cnt;
		}
		now=tr[now][x];
	}
	end[now]++;
	val[now]+=log(v);
}
void get_fail()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<=9;i++)
	{
		if(tr[0][i])
		{
			q.push(tr[0][i]);
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		now=q.front();
		q.pop();
		val[now]+=val[fail[now]];
		end[now]+=end[fail[now]];
		for(int i=0;i<=9;i++)
		{
			if(tr[now][i])
			{
				fail[tr[now][i]]=tr[fail[now]][i];
				q.push(tr[now][i]);
			}
			else
			{
				tr[now][i]=tr[fail[now]][i];
			}
		}
	}
}
double DP(double mid)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=cnt;j++)
		{
			f[i][j]=-1e9;
			g[i][j]=0;
		}
	}
	f[0][0]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=cnt;j++)
		{
			if(f[i][j]>-1e9)
			{
				if(s[i+1]=='.')
				{
					for(int k=0;k<=9;k++)
					{
						if(f[i+1][tr[j][k]]<f[i][j]+val[tr[j][k]]-mid*end[tr[j][k]])
						{
							f[i+1][tr[j][k]]=f[i][j]+val[tr[j][k]]-mid*end[tr[j][k]];
							g[i+1][tr[j][k]]=j;
						}
					}
				}
				else
				{
					int x=s[i+1]-'0';
					if(f[i+1][tr[j][x]]<f[i][j]+val[tr[j][x]]-mid*end[tr[j][x]])
					{
						f[i+1][tr[j][x]]=f[i][j]+val[tr[j][x]]-mid*end[tr[j][x]];
						g[i+1][tr[j][x]]=j;
					}
				}
			}
		}
	}
	double res=-1e9;
	for(int i=0;i<=cnt;i++)
	{
		res=max(res,f[n][i]);
	}
	return res;
}
void print(int dep,int now)
{
	if(!dep)
	{
		return ;
	}
	print(dep-1,g[dep][now]);
	if(s[dep]!='.')
	{
		printf("%c",s[dep]);
		return ;
	}
	else
	{
		for(int i=0;i<=9;i++)
		{
			if(tr[g[dep][now]][i]==now)
			{
				printf("%c",i+'0');
				return ;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s%d",ch,&v);
		build(ch,v);
	}
	get_fail();
	double l=0,r=22;
	while(r-l>eps)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(DP(mid)>0)
		{
			l=mid;
			ans=mid;
		}
		else
		{
			r=mid;
		}
	}
	DP(ans);
	for(int i=0;i<=cnt;i++)
	{
		if(f[n][i]>0)
		{
			print(n,i);
			break;
		}
	}
}