数据结构之二叉树解析

曾经有个朋友问我：二叉树可以用来干啥况？

我回答他：可以搜索、可以排序呀？

可是，排序有快速排序，归并排序，查找有二分法，甚至直接遍历查找，我干啥要使用二叉树呢？

……

　　这位朋友说的是有道理的，二叉树确实在实际中用的比较少，因为有更高级的树，但是二叉树作为一种最基本最典型的排序树，是研究其他树的基础。除此之外，在面试数据结构的时候，二叉树原理被问到的概率是相当高的。言归正传，我们来分析分析二叉树。

　　我们知道，在有序数组中，可以快速找到特定的值，但是想在有序数组中插入一个新的数据项，就必须首先找出新数据项插入的位置，然后将比新数据项大的数据项向后移动一位，来给新的数据项腾出空间，删除同理，这样移动很费时。显而易见，如果要做很多的插入和删除操作和删除操作，就不该选用有序数组。

　　另一方面，链表中可以快速添加和删除某个数据项，但是在链表中查找数据项可不容易，必须从头开始访问链表的每一个数据项，直到找到该数据项为止，这个过程很慢。

　　树这种数据结构，既能像链表那样快速的插入和删除，又能想有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树——二叉（搜索）树。二叉搜索树有如下特点：一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或等于这个节点。插入一个节点需要根据这个规则进行插入。

　　删除节点时二叉搜索树中最复杂的操作，但是删除节点在很多树的应用中又非常重要，所以详细研究并总结下特点。删除节点要从查找要删的节点开始入手，首先找到节点，这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑。

• 该节点是叶节点，没有子节点

• 该节点有一个子节点

• 该节点有两个子节点

　　第一种最简单，第二种也还是比较简单的，第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况：

　　要删除叶节点，只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可，由指向该节点改为 null 就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点，不需要自己手动删掉；当节点有一个子节点时，这个节点只有两个连接：连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点，把它的子节点直接连到它的父节点上即可，这个过程要求改变父节点适当的引用（左子节点还是右子节点），指向要删除节点的子节点即可；第三种情况最复杂，如果要删除有两个子节点的节点，就不能只用它的一个子节点代替它，比如要删除节点25，如果用35取代它，那35的左子节点是15呢还是30？

　　因此需要考虑另一种方法，寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况，删除后还是有序的。（这里还有更麻烦的情况，即它的后继自己也有右子节点，下面再讨论。）

　　那么如何找后继节点呢？首先得找到要删除的节点的右子节点，它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里（如果有的话），然后到这个左子节点的左子节点，以此类推，顺着左子节点的路径一直向下找，这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点，那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下：

　　找到了后继节点，现在开始删除了，先看第一种情况，后继节点是delNode右子节点的做后代，这种情况要执行以下四个步骤：

• 把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点；

• 把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点；

• 把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除，把这个字段置为后继；

• 把待删除的左子节点移除，将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。

这下图所示：

　　如果后继节点就是待删除节点的右子节点，这种情况就简单了，因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示：

　　看到这里，就会发现删除时相当棘手的操作。实际上，因为它非常复杂，一些程序员都尝试着躲开它，他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除，在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了，这样删除节点不会改变树的结构。当然树中还保留着这种已经删除的节点，对存储造成浪费，但是如果没有那么多删除的话，这也不失为一个好方法。

　　另外二叉树有三种遍历方式：前序、中序和后序。这个比较简单，直接看下代码即可。

下面手写个二叉搜索树的代码：

public class BNode {
    public int key;
    public double data;
    public BNode parent;
    public BNode leftChild;
    public BNode rightChild;

    public void displayNode() {
        System.out.println("{" + key + ":" + data + "}");
    }
}

public class BinaryTree {
    private BNode root;  // 根节点

    public BinaryTree(BNode root) {
        root = null;
    }

    //二搜索树查找的时间复杂度为O（logN）
    //find node with given key
    public BNode find(int key) {
        BNode current = root;
        while (current.key != key) {
            if (key < current.key) {
                current = current.leftChild;
            } else {
                current = current.rightChild;
            }
            if (current == null) {
                return null;
            }
        }
        return current;
    }

    //插入节点
    public void inset(int key, int value) {
        BNode newNode = new BNode();
        newNode.key = key;
        newNode.data = value;
        if (root == null) {
            root = newNode;
        } else {
            BNode current = root;
            BNode parent;
            while (true) {
                parent = current;
                if (key < current.key) {
                    //turn left
                    current = current.leftChild;
                    if (current == null) {
                        parent.leftChild = newNode;
                        newNode.parent = parent;
                        return;
                    }
                } else {
                    //trun right
                    current = current.rightChild;
                    if (current == null) {
                        parent.rightChild = newNode;
                        newNode.parent = parent;
                        return;
                    }
                }
            }
        }
    }

    //遍历二叉树
    public void traverse(int traverseType) {
        switch (traverseType) {
            case 1:
                System.out.println("PreOrder Traversal!");
                preOrder(root);
                break;
            case 2:
                System.out.println("InOrder Traversal!");
                inOrder(root);
                break;
            case 3:
                System.out.println("PostOrder Traversal");
                postOrder(root);
            default:
                System.out.println("PreOrder Traversal!");
                preOrder(root);
                break;

        }
        System.out.println("");
    }

    //前序遍历
    public void preOrder(BNode localRoot) {
        if (localRoot != null) {
            System.out.println(localRoot.data + " ");
            preOrder(localRoot.leftChild);
            preOrder(localRoot.rightChild);
        }
    }

    //中序遍历
    public void inOrder(BNode localRoot) {
        if (localRoot != null) {
            inOrder(localRoot.leftChild);
            System.out.println(localRoot.data + " ");
            inOrder(localRoot.rightChild);
        }
    }

    //后序遍历
    public void postOrder(BNode localRoot) {
        if (localRoot != null) {
            postOrder(localRoot.leftChild);
            postOrder(localRoot.rightChild);
            System.out.println(localRoot.data + " ");
        }
    }

    //查找最小值
    /*根据二叉搜索树存储规则：最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/
    public BNode minNumber() {
        BNode current = root;
        BNode parent = root;
        while (current != null) {
            parent = current;
            current = current.leftChild;
        }
        return parent;
    }

    //查找最大值
    /*根据二叉搜索树的存储规则：最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/
    public BNode maxNumber() {
        BNode current = root;
        BNode parent = root;
        while (current != null) {
            parent = current;
            current = current.rightChild;
        }
        return parent;
    }

    //删除节点
    /*
    删除节点在二叉树中是最复杂的，主要有三种情况：
    1、该节点没有子节点（简单）
    2、该节点有一个子节点（还行）
    3、该节点有两个子节点（复杂）
    删除节点的时间复杂度为O(logN)
    */
    public boolean delete(int key) {
        BNode current = root;
        boolean isLeftChild = true;
        if (current == null) {
            return false;
        }
        //寻找要删除的节点
        while (current.data != key) {
            if (key < current.data) {
                isLeftChild = true;
                current = current.leftChild;
            } else {
                isLeftChild = false;
                current = current.rightChild;
            }
            if (current == null) {
                return false;
            }
        }
        //找到了要删除的节点，下面开始删除
        //1、要删除的节点没有子节点，直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可
        if (current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
            return false;
        }
        //3、要删除的节点有两个子节点
        else if (current.leftChild != null && current.rightChild != null) {
            return false;
        }
        //2、要删除的节点有一个子节点，直接将其砍断，将其子节点与其父节点连接起来即可，要考虑特殊情况就是删除根节点，因为根节点没有父节点
        else {
            return false;
        }
    }

    public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        if (node == root) {
            root = null;
            return true;
        }
        if (isLeftChild) {
            node.parent.leftChild = null;
        } else {
            node.parent.rightChild = null;
        }
        return true;
    }

    public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        if (node.leftChild == null) {
            if (node == root) {
                root = node.rightChild;
                node.parent = null;
                return true;
            }
            if (isLeftChild) {
                node.parent.leftChild = node.rightChild;
            } else {
                node.parent.rightChild = node.rightChild;
            }
        } else {
            if (node == root) {
                root = node.leftChild;
                node.parent = null;
                return true;
            }
            if (isLeftChild) {
                node.parent.leftChild = node.leftChild;
            } else {
                node.parent.rightChild = node.rightChild;
            }
        }
        return true;
    }

    public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
        BNode successor = getSuccessor(node);
        if (node == root) {
            successor.leftChild = root.leftChild;
            successor.rightChild = root.rightChild;
            successor.parent = null;
            root = successor;
        } else if (isLeftChild) {
            node.parent.leftChild = successor;
        } else {
            node.parent.rightChild = successor;
        }
        //connect successor to node's left child
        successor.leftChild = node.leftChild;
        return true;
    }

    //获得要删除节点的后继节点（中序遍历的下一个节点）
    public BNode getSuccessor(BNode delNode) {
        BNode successor = delNode;
        BNode current = delNode.rightChild;
        while (current != null) {
            successor = current;
            current = current.leftChild;
        }
        if (successor != delNode.rightChild) {
            (successor).leftChild = successor.rightChild;
            if (successor.rightChild != null) {
                //删除后续节点在原来的位置
                successor.rightChild.parent = successor.parent;
            }
            //将后续节点放到正确的位置，与右边连上
            successor.rightChild = delNode.rightChild;
        }
        return successor;
    }
}

 

原文参考微信公众号【程序员私房菜】