串string （KMP）

1、Definition

串string，是零个或多个字符组成的有限序列。一般记作S="a1a2a3...an"，其中S是串名，双引号括起来的字符序列是串值；ai（1<= i <=n）可以是字母、数字或其他字符；串中所包含的字符个数称为该串的长度。长度为零的串称为空串（Empty String），不包含任何字符。

2、

子串、主串：串中任意连续的字符组成的子序列被称为该串的子串。包含子串的串有被称为该子串的主串。

子串的位置：子串在主串中第一次出现的第一个字符的位置。

两个串相等：两个串长度相等，并且各个对应的字符也都相等。

3、串的模式匹配算法

串的匹配实际上是对与合法的位置1<= i <=n-m+1，依次将目标串中的子串S[i..i+m-2]和模式串T[1..m-1]进行比较，若S[i..i+m-2]=T[1..m-1]，则称从位置i开始的匹配成功，亦称模式T在目标S中出现：若S[i..i+m-2]!=T[1..m-1]，则称从位置i开始的匹配失败。

其算法段为：

for(i=1; i<=n-m+1; i++)
	if(S[i..i+m-2]=T[1..m-1])
		return i;

　　

int index1(string s, string t)
{
	int n=s.length();
	int m=t.length();
	
	for(int i=0;i<n-m; i++)
	{
		int j=0;
		int k=i;
		while(j<m && s[k]==t[j])
		{
			k++;
			j++;
		}
		if(j>=m)return i;
	}
			
		return -1;	
}

　　

int index2(string s, string t)
{
	int n=s.length();
	int m=t.length();
	int i,j;
	while((i<n) && (j<m))
	{
		if(s[i]==t[j])
		{
			i++;
			j++;
		}
		else
		{
		     i=i-j+1;
			 j=0;
		}
	}
	if(j>=m)return i-j;
	else return -1;
}

　　

4、KMP算法

在3中我们看到的是模式匹配的暴力求解法，这种算法虽然能够得到结果，但问题是，这个算法的时间复杂度为O(M*N)，效率不高，为了解决这个问题，KMP三人对此做出了改进，提出了KMP算法。

详细描述：

   在一般的暴力求解法中，当文本串第i个字符与模式串第j个字符不匹配时，文本串往往会回溯到i-j+1处，而模式串会回溯到0处，在KMP算法中却不用进行这样的回溯，

当发生失配时，我们通过拉动模式串进行不回溯的检查，当文本串第i个字符与模式串第j个字符不匹配时，模式串会跳转到next[j]值所在的位置再继续比较（next[j]是啥？莫急，稍后解释），如果next[j]只是-1，那么只能从模式串开始来比较了。

KMPcode

int KMP(string s, string t, int next[])
{
	int i=0;
	int j=0;
	int n=s.length();
	int m=t.length();
	
	while((i<n)&&(j<m))
	{
		if(j=-1||s[i]==t[j])
		{
			i++;
			j++;
		}
		else
			j=next[j];
	}
	
	if(j==m)return i-j;
	else return -1;
}

　　现在让我们来看看next是啥子玩意

next是一个数组，是一个模式函数值，对于每一个模式串的每一个字符可能会存在最大k个前缀与k个后缀相等，则字符的next值为k个前缀的下一个字符的index，对于第一个字符来说它的next值就为-1，以下贴出求数组代码

void CalcNext(string s, int next[])
{
	int n=s.length();
	next[0]=-1;
	int k=-1;
	int j=0;
	while(j<n)
	{
		if(k==-1||s[j]==s[k])
		{
			++k;
			++j;
			next[j]=k;
		}
		else
			k=next[k];
	}
}

　　以下为优化代码，有的地方可以称次next数组为nextvalue数组

void CalcNext(string p, int next[])
{
	int n=p.length();
	next[0]=-1;
	int k=-1;
	int j=0;
	while(j<n)
	{
		if(k==-1||p[j]==p[k])
		{
			++k;
			++j;
			if(p[j]==p[k])
			   next[j]=next[k];
			else
			   next[j]=k;
		}
		else
		{
			k=next[k];
		}
	}
}