卡特兰猜想的一个弱化形式

Introduction

笔者最近在《初等数论及其应用》上看到了这样一个题：

求所有满足 \(p^a - q^b = 1\) 的 \(p,q,a,b\) ，其中 \(p,q\) 是素数，\(a , b > 1\)
并证明其答案的正确性。

经询问学长及查阅资料发现，该问题若去掉素数的限制就是卡特兰猜想了。

卡特兰猜想（Catalan's Conjecture）:
除(8,9)外，不存在两个连续的正整数，使得它们同时是整数的大于一次幂。

以下给出弱化版的证明。

Proof

首先 \(p\) \(q\) 奇偶性相反，则必有一个是 \(2\) 。
分类讨论，注意到 \(p=2\) 时应证得无解，先考虑该情况。

Case 1 : \(2^a - q^b=1\)

此时 \(q\) 一定是奇数。

如果 \(b\) 是偶数，那么 \(q^b \equiv 1 \pmod 8\) ，于是 \(a\) 必定为 \(1\) ，矛盾。
于是 \(b\) 是奇数。

注意到此时 \(q^b + 1 = 2^a\) , \(q+1 \mid q^b + 1\) ，所以 \(q+1 \mid 2^a\) ，
那么令 \(q=2^k-1\) ，就有

\[\begin{align*} 2^a&=1 + \left( 2^k-1 \right)^b\\ &=1 - 1 + 2^k C_{b}^1 - 2^{2k} C_{b}^2 + \cdots + 2^{bk}C_b^b\\ &=2^k\left( b - 2^k \frac{b(b-1)}{2} + \cdots 2^{(b-1)k}C_b^b \right) \end{align*} \]

括号内除 \(b\) 外都是偶数，\(b\) 是奇数，于是括号的值为奇数，等式恒不成立。

无解。

Case 2 : \(p^a - 2^b =1\)

此时有 \(p^a -1 = 2^b\) ，那么设 \(p=2^k + 1\) 。
于是有

\[\begin{equation} \begin{align*} 2^b&=\left( 2^k + 1 \right) ^ a - 1\\ &=2^k \left( a + 2^k \frac{a(a-1)}{2} + 2^{2k} \frac{a(a-1)(a-2)}{6} + \cdots a^{(a-1)k}C_a^a \right) \end{align*} \end{equation} \]

那么要求括号内的数也为 \(2\) 的幂。
对每一项研究其质因数分解中 \(2\) 的指数，
令 \(V_2(a)=t\) ，则 \(V_2\left(2^k\frac{a(a-1)}{2}\right) = k+t-1\) , \(V_2\left( 2^{2k}\frac{a(a-1)(a-2)}{6}\right) \ge 2k + t\)
后面的项都至少是 \(2k + t\)，但是我们知道，必须要让 \(a\) 与同样是 \(t\) 的项合并，或只有 \(a\) 一个值，才有可能得到 \(2\) 的幂，因此 \(k=1 或0\) ，即 \(p=3\) 。

此时得到式子 \(3^a - 2^b =1\) 。
令 \(V_2(a)=k\) ， 则 \(V_2\left( 2C_a^2\right )=k\)
再次利用式（1），又知道 \(V_2\left( 2^{m-1}C_a^m \right) >k \quad \forall m>2\) ，则知至多只有两项，即 \(a=2\) 。

于是得到 \(b=3\) ，问题得证。