比赛链接：https://codeforces.com/contest/1353
A - Most Unstable Array
题意
构造大小为 $n$，和为 $m$ 的非负数组 $a$，使得相邻元素之差的绝对值之和最大。
题解
稍加推导发现：将 $m$ 拆分和单独用 $m$ 结果是一样的，所以可以直接用 $0$ 和 $m$ 构造。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; void solve() { int n, m; cin >> n >> m; if (n == 1) cout << 0 << " "; else if (n == 2) cout << m << " "; else cout << 2 * m << " "; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }
B - Two Arrays And Swaps
题意
有大小为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$，最多可以交换 $a$ 中某一元素和 $b$ 中某一元素 $k$ 次，问数组 $a$ 中元素的最大和为多少。
题解
取 $a$ 中 $n$ 个和 $b$ 中前 $k$ 大个元素中前 $n$ 大个元素即可。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; void solve() { int n, k; cin >> n >> k; vector<int> a(n); for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a[i]; } vector<int> b(n); for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> b[i]; } sort(b.rbegin(), b.rend()); for (int i = 0; i < k; i++) { a.push_back(b[i]); } sort(a.rbegin(), a.rend()); cout << accumulate(a.begin(), a.begin() + n, 0) << " "; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }
C - Board Moves
题意
有一边长为奇数 $n$ 的正方形网格，每一次一个方块可以移到相邻八个位置中的某一个，问所有方块移到一个位置最少需要移动几次。
题解
从中心考虑：中心外第 $i$ 圈的每个方块移到中心需要 $i$ 步。
代码
#include <bits/stdc++.h> using ll = long long; using namespace std; void solve() { int n; cin >> n; ll ans = 0, a = 3, b = 1; for (ll i = 1; i <= (n - 1) / 2; i++) { ans += (a * a - b * b) * i; a += 2, b += 2; } cout << ans << " "; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }
D - Constructing the Array
题意
有一大小为 $n$ 初始时每个元素均为 $0$ 的数组，第 $i$ 次操作如下：
- 选取最长最靠左的一段连续为 $0$ 的子区间
- 如果区间长度为奇数，$a_{frac{l+r}{2}} = i$
- 如果区间长度为偶数，$a_{frac{l+r-1}{2}} = i$
输出进行 $n$ 次操作后的数组。
题解
递归分解区间，按照题意排序赋值即可。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; vector<pair<int, int>> v; int cal(int l, int r) { return ((r - l + 1) % 2 == 1) ? (l + r) / 2 : (l + r - 1) / 2; } void recur(int l, int r) { if (l > r) return; v.push_back({l, r}); recur(l, cal(l ,r) - 1); recur(cal(l ,r) + 1, r); } void solve() { v.clear(); int n; cin >> n; recur(1, n); sort(v.begin(), v.end(), [&] (pair<int, int> a, pair<int, int> b) { if (a.second - a.first != b.second - b.first) return a.second - a.first > b.second - b.first; else return a.first < b.first; }); int a[n + 1] = {}; for (int i = 0; i < n; i++) a[cal(v[i].first ,v[i].second)] = i + 1; for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " "[i == n]; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }
E - K-periodic Garland
题意
将一个 $01$ 串变为相邻两个 $1$ 之间周期为 $k$ 的字符串最少需要改变多少字符。
题解
把原字符串分为 $k$ 个周期子串，每次考虑一个子串时需要将其他子串中的 $1$ 都变为 $0$，然后对当前周期子串进行 $dp$，$dp_i$ 表示周期子串中位置 $i$ 的字符变为 $1$，之前的字符变为合法至少需要改变多少字符。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int cal(const string &s) { int n = s.size(); int all = count(s.begin(), s.end(), '1'); int dp[n] = {}; int pref = 0; int ans = all; for (int i = 0; i < n; i++) { int cur = (s[i] == '1'); pref += cur; dp[i] = 1 - cur; if (i > 0) dp[i] += min(dp[i - 1], pref - cur); ans = min(ans, dp[i] + all - pref); } return ans; } void solve() { int n, k; cin >> n >> k; string s; cin >> s; int tot_one = count(s.begin(), s.end(), '1'); vector<string> v(k); for (int i = 0; i < k; i++) for (int j = i; j < n; j += k) v[i] += s[j]; int ans = 1e9; for (auto &it : v) ans = min(ans, cal(it) + tot_one - count(it.begin(), it.end(), '1')); cout << ans << " "; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }
F - Decreasing Heights
题意
有一个 $n * m$ 、高度不等的三维坐标系，从 $a_{00}$ 走到 $a_{{(n-1)}{(m-1)}}$，每次只能从 $a_{ij}$ 向 $a_{(i+1)j}$ 或 $a_{i(j+1)}$ 行走，且 $a_{xy} - a_{ij} = 1$，每个位置的高度可以不限次地 $-1$，问最少需要减少多少高度。
题解
如果 $a_{00}$ 是确定的，那么每个点 $a_{ij}$ 的高度应为 $a_{00} + i + j$，因为每移动一格高度都会 $+1$，这与路径无关。
那么，根据状态转移方程：
$dp_{ij} = min(dp_{{(i - 1)}{j}} + dp_{{i}{(j - 1)}}) + a_{ij} - (a_{00} + i + j)$
推导即可。
但是 $a_{00}$ 需要变化的高度是不确定，注意到如果有一条从 $a_{00}$ 到 $a_{{(n-1)}{(m-1)}}$ 的最优路径，那么这条路径上一定有点的高度不需要减少，因为如果都需要减少，那么可以增加 $a_{00}$ 的高度来抵消共同减少的部分，如果增加后的高度高于 $a_{00}$，呢么 $a_{00}$ 不需要减少，这条路径上的的高度都需要减少，即仍有点的高度不需要减少。
至此，可以枚举高度不变化的点反推出 $a_{00}$ 的高度，由此得解。
代码
#include <bits/stdc++.h> using ll = long long; using namespace std; const ll INF = 1e18; void solve() { int n, m; cin >> n >> m; ll a[n][m] = {}; for (int i = 0; i < n; i++) for(int j = 0; j < m; j++) cin >> a[i][j]; ll ans = INF; for (int x = 0; x < n; x++) { for(int y = 0; y < m; y++) { ll a_00 = a[x][y] - x - y; if (a_00 > a[0][0]) continue; ll dp[n][m] = {}; fill(*dp, *dp + n * m, INF); dp[0][0] = a[0][0] - a_00; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { ll a_ij = a_00 + i + j; if (a_ij > a[i][j]) continue; if (i > 0) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j] + a[i][j] - a_ij); if (j > 0) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1] + a[i][j] - a_ij); } } ans = min(ans, dp[n - 1][m - 1]); } } cout << ans << " "; } int main() { int t; cin >> t; while (t--) solve(); }