L2范数归一化概念和优势

1 归一化处理

       归一化是一种数理统计中常用的数据预处理手段，在机器学习中归一化通常将数据向量每个维度的数据映射到(0,1)或(-1,1)之间的区间或者将数据向量的某个范数映射为1，归一化好处有两个：

       (1) 消除数据单位的影响：其一可以将有单位的数据转为无单位的标准数据，如成年人的身高150-200cm、成年人体重50-90Kg，身高的单位是厘米而体重的单位是千克，不同维度的数据单位不一样，造成原始数据不能直接代入机器学习中进行处理，所以这些数据经过特定方法统一都映射到(0,1)这个区间,这样所有数据的取值范围都在同一个区间里的。

       (2) 可提深度学习模型收敛速度: 如果不进行归一化处理，假设深度学习模型接受的输入向量只有两个维度x1和x2，其中X1取值为0-2000，x2取值为0-3。这样数据在进行梯度下降计算时梯度时对应一个很扁的椭圆形，很容易在垂直等高线的方向上走大量的之字形路线，是的迭代计算量大且迭代的次数多，造成深度学习模型收敛慢。

2 L2范数归一化的概念

       L2范数归一化处理操作是对向量X的每个维度数据x1, x2, …, xn都除以||x||2得到一个新向量，即

[{{f{X}}_2} = left( {frac{{{x_1}}}{{{{left| {f{x}} ight|}_2}}},frac{{{x_2}}}{{{{left| {f{x}} ight|}_2}}}, cdots ,frac{{{x_n}}}{{{{left| {f{x}} ight|}_2}}}} ight) = left( {frac{{{x_1}}}{{sqrt {x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2} }},frac{{{x_2}}}{{sqrt {x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2} }}, cdots ,frac{{{x_n}}}{{sqrt {x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2} }}} ight) ]

       若向量A = (2, 3, 6)，易得向量X的L2范数为

[{left| {f{A}} ight|_2} = sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} = sqrt {4 + 9 + 36} = sqrt {49} = 7 ]

       所以向量A的L2范数归一化后得到向量为

[{{f{A}}_2} = left( {frac{2}{7},frac{3}{7},frac{6}{7}} ight) ]

图1 L2范数可以看作是向量的长度

3 L2范数归一化的优势

       L2范数有一大优势：经过L2范数归一化后，一组向量的欧式距离和它们的余弦相似度可以等价

       一个向量X经过L2范数归一化得到向量X2，同时另一个向量Y经过L2范数归一化得到向量Y2。此时X2和Y2的欧式距离和余弦相似度是等价的，下面先给出严格的数学证明。

       假设向量X = (x1, x2, …, xn)，向量Y = (y1, y2, …, yn)， X2和Y2的欧式距离是

[egin{array}{l} Dleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight) = sqrt {{{left( {frac{{{x_1}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} - frac{{{y_1}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^2} + {{left( {frac{{{x_2}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} - frac{{{y_2}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^2} + cdots + {{left( {frac{{{x_n}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} - frac{{{y_n}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^2}} \ quad quad quad quad quad ;;; = sqrt {left( {frac{{f{X}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} - frac{{f{Y}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight){{left( {frac{{f{X}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} - frac{{f{Y}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^T}} \ quad quad quad quad quad ;;; = sqrt {frac{{{f{X}}{{f{X}}^T}}}{{left| {f{X}} ight|_2^2}} - frac{{{f{X}}{{f{Y}}^T}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}} - frac{{{f{Y}}{{f{X}}^T}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}} + frac{{{f{Y}}{{f{Y}}^T}}}{{left| {f{Y}} ight|_2^2}}} \ quad quad quad quad quad ;;; = sqrt {frac{{{f{X}}{{f{X}}^T}}}{{{f{X}}{{f{X}}^T}}} - frac{{2{f{X}}{{f{Y}}^T}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}} + frac{{{f{Y}}{{f{Y}}^T}}}{{{f{Y}}{{f{Y}}^T}}}} \ quad quad quad quad quad ;;; = sqrt {2 - 2frac{{{f{X}}{{f{Y}}^T}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} \ end{array}]

       X2和Y2的余弦相似度为

[egin{array}{l} Simleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight) = frac{{frac{{{x_1}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} cdot frac{{{y_1}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}{ m{ + }}frac{{{x_{ m{2}}}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} cdot frac{{{y_{ m{2}}}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}{ m{ + }} cdots { m{ + }}frac{{{x_n}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}} cdot frac{{{y_n}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}}}{{sqrt {{{left( {frac{{{x_1}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}{ m{ + }}{{left( {frac{{{x_{ m{2}}}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}{ m{ + }} cdots {{left( {frac{{{x_{ m{n}}}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}} cdot sqrt {{{left( {frac{{{y_1}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}{ m{ + }}{{left( {frac{{{y_{ m{2}}}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}{ m{ + }} cdots { m{ + }}{{left( {frac{{{y_n}}}{{{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}} ight)}^{ m{2}}}} }} \ quad quad quad quad quad ;;; = frac{{frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}}}{{sqrt {frac{{x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2}}{{left| {f{X}} ight|_2^2}}} cdot sqrt {frac{{y_1^2 + y_2^2 + cdots y_n^2}}{{left| {f{Y}} ight|_2^2}}} }} \ quad quad quad quad quad ;;; = frac{{frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}}}}{{sqrt {frac{{x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2}}{{x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2}}} cdot sqrt {frac{{y_1^2 + y_2^2 + cdots y_n^2}}{{y_1^2 + y_2^2 + cdots y_n^2}}} }} \ quad quad quad quad quad ;;; = frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}} \ quad quad quad quad quad ;;; = frac{{{f{X}}{{f{Y}}^T}}}{{{{left| {f{X}} ight|}_2}{{left| {f{Y}} ight|}_2}}} \ end{array}]

       结合两个表达式易得

[Dleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight) = sqrt {2 - 2simleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight)} ]

       即L2范数归一化处理后两个向量欧式距离等于2减去2倍余弦相似度的算术平方根。如果你被上面令人昏头转向的数学公式搞晕，而不想看的话，这里还有一种仅需要中学知识的更简单证明方法证明两者的等价性:

       假设一组二维数据，设经过L2范数归一化后向量X2 为 (p1, p2)，向量Y2 为 (q1, q2)。向量X2是原点(0,0) 指向点P(p1,p2)的有向线段，向量Y2是原点(0,0)指向点Q(q1, q2)的有向线段。易得

       X2和Y2的欧式距离为线段PQ长度

       X2和Y2的余弦相似度为∠POQ的余弦值

       根据余弦定理易得

[cos angle POQ = frac{{O{P^2} + O{Q^2} - P{Q^2}}}{{2 cdot OP cdot OQ}} ]

       因为L2范数归一化向量的长度都是1，因为L2范数归一化向量的长度都是1，那么向量对应的点肯定都在单位圆上，所以OP=OQ=1

图2 L2范数归一化后向量对应的点都在单位圆上

       因此

[cos angle POQ = frac{{{1^2} + {1^2} - P{Q^2}}}{2} = frac{{2 - P{Q^2}}}{2} ]

       即

[simleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight) = frac{{2 - D{{left( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight)}^2}}}{2} Rightarrow Dleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight) = sqrt {2 - 2simleft( {{{f{X}}_{ m{2}}},{{f{Y}}_{ m{2}}}} ight)} ]

       因此经L2范数归一化后，一组向量的欧式距离和它们的余弦相似度可等价。这一大优势是当你算得一组经过L2范数归一化后的向量的欧式距离后，又想计算它们的余弦相似度，可以根据公式在O(1)时间内直接计算得到；反过来也一样。

       另外，在一些机器学习处理包中，只有欧式距离计算没有余弦相似度计算，如Sklearn的Kmeans聚类包，这个包只能处理欧式距离计算的数据聚类。

       而在NLP领域，许多词语或文档的相似度定义为数据向量的余弦相似度，如果直接调用Sklearn的Kmeans聚类包则不能进行聚类处理。因此需要将词语对象的词向量或者文档对应的文本向量进行L2范数归一化处理。因为在L2范数归一化处理后的欧式距离和余弦相似度是等价的，所以此时可以放心大胆用Sklearn的Kmeans进行聚类处理。