《动手学深度学习》系列笔记—— 1.3 多层感知机

目录

• 多层感知机的基本知识
  • 隐藏层
  • 表达公式
  • 激活函数
    • ReLU函数
    • Sigmoid函数
    • tanh函数
  • 关于激活函数的选择
  • 多层感知机
• 多层感知机从零开始的实现
  • 获取训练集
  • 定义模型参数
  • 定义激活函数
  • 定义网络
  • 定义损失函数
  • 训练
• 多层感知机pytorch实现
  • 初始化模型和各个参数
  • 训练

多层感知机的基本知识

深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

具体来说，给定一个小批量样本(oldsymbol{X} in mathbb{R}^{n imes d})，其批量大小为(n)，输入个数为(d)。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为(h)。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为(oldsymbol{H})，有(oldsymbol{H} in mathbb{R}^{n imes h})。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为(oldsymbol{W}_h in mathbb{R}^{d imes h})和 (oldsymbol{b}_h in mathbb{R}^{1 imes h})，输出层的权重和偏差参数分别为(oldsymbol{W}_o in mathbb{R}^{h imes q})和(oldsymbol{b}_o in mathbb{R}^{1 imes q})。

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出(oldsymbol{O} in mathbb{R}^{n imes q})的计算为

[ egin{aligned} oldsymbol{H} &= oldsymbol{X} oldsymbol{W}_h + oldsymbol{b}_h,\ oldsymbol{O} &= oldsymbol{H} oldsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_o, end{aligned} ]

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

[ oldsymbol{O} = (oldsymbol{X} oldsymbol{W}_h + oldsymbol{b}_h)oldsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_o = oldsymbol{X} oldsymbol{W}_holdsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_h oldsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_o. ]

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为(oldsymbol{W}_holdsymbol{W}_o)，偏差参数为(oldsymbol{b}_h oldsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_o)。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

下面我们介绍几个常用的激活函数：

ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素(x)，该函数定义为

[ ext{ReLU}(x) = max(x, 0). ]

可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    # d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, >requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

我们来看一下ReLU函数的梯度：

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

Sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

[ ext{sigmoid}(x) = frac{1}{1 + exp(-x)}. ]

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

依据链式法则，sigmoid函数的导数

[ ext{sigmoid}'(x) = ext{sigmoid}(x)left(1- ext{sigmoid}(x) ight). ]

下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

[ ext{tanh}(x) = frac{1 - exp(-2x)}{1 + exp(-2x)}. ]

我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

依据链式法则，tanh函数的导数

[ ext{tanh}'(x) = 1 - ext{tanh}^2(x). ]

下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

关于激活函数的选择

• ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

• 用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

• 在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

• 在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

[ egin{aligned} oldsymbol{H} &= phi(oldsymbol{X} oldsymbol{W}_h + oldsymbol{b}_h),\ oldsymbol{O} &= oldsymbol{H} oldsymbol{W}_o + oldsymbol{b}_o, end{aligned} ]

其中(phi)表示激活函数。

多层感知机从零开始的实现

import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l

获取训练集

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')

定义模型参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)

定义激活函数

def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))

定义网络

def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2

定义损失函数

loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

训练

d2l.train_ch3()函数实现见上一节

num_epochs, lr = 5, 100.0

d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)

多层感知机pytorch实现

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l

初始化模型和各个参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)

训练

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)