数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》 https://tieba.baidu.com/p/7810412720 。
一个 方程 自己 和 自己， 或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算， 得到一个 新的 方程， 新的方程 修改了 原方程 的 含义， 简单的说， 新的方程 已经 不是 原方程 了 。
通常， 这个 现象 称为 “增根”， 但 实际上， “增根” 说的 并不全面， 重点 是， 新的方程 已经 不是 原方程 了 。
一个 等式 自己 和 自己， 或 和 其它 一些 等式 进行 一些 运算， 得到一个 新的 等式， 新的等式 修改了 原等式 的 含义， 简单的说， 新的等式 已经 不是 原等式 了 。
我 在 《知乎 ： 有什么你认为很简单的问题实际的证明却很复杂？》 https://tieba.baidu.com/p/7560195420 的 4 楼 说
“进一步， 还发现 用 一个 或 一些 等式 代入/运算 若干次， 得到 的 仍然 是 一个 等式， 这个 等式 可以看作 一个 方程， 这个 方程 的 解 包含了 这些 等式， 但 也 有 其它 的 解 。”
之前 我写的 《转一个 民科吧 的 帖 ： 数学大厦竟如此不堪一击》 https://tieba.baidu.com/p/7518364469 也 提到 类似 的 问题，
有 网友 说 是 增根， 我觉得 增根 还是 次要的， 主要 是 x ² + x + 1 = 0 这个 方程 没有 实根 。
本文 已 发到 反相吧 《数学吧 《这个谬论应该怎么反驳》》 https://tieba.baidu.com/p/7811139429 。
4 楼
很多时候， 问题出在 “不是 代入” 。
比如， x = x + 1 ， 自己 和 自己 相加， 可以是
x = x + 1
x = x + 1
两式相加， 得
2 x = 2 x + 2
x = x + 1
也可以是
x = x + 1
x + 1 = x
两式相加， 得
2 x + 1 = 2 x + 1
0 = 0
一个 是 x = x + 1， 一个 是 0 = 0， 这就有 问题 了 。
如果 是 代入 的 话， 把 x = x + 1 代入 x = x + 1 ，
x + 1 = ( x + 1 ) + 1
x + 1 = x + 1 + 1
x + 1 = x + 2
x = x + 1
以上 。
由于 不是代入， 就 埋藏了 逻辑问题 。
值得注意的是， 解 二元一次方程组 时， 可以让 两个 方程 相加减 消元， 这和 代入消元 是 等价 的 。
当然， 代入 也会 产生 增根， 比如
x ² + x - 1 = 0
x = 1 - x ²
把 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0
( 1 - x ² ) ² + ( 1 - x ² ) - 1 = 0
1 - 2 x ² + x ⁴ + 1 - x ² - 1 = 0
x ⁴ - 3 x ² + 1 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 ， 新方程 x ⁴ - 3 x ² + 1 = 0 ， 新方程 产生了 增根 。
也可以这样 代入，
x ² + x - 1 = 0
x ² = 1 - x
x = 根号 ( 1 - x )
把 x ² = 1 - x 和 x = 根号 ( 1 - x ) 代入 x ² + x - 1 = 0
( 1 - x ) + 根号 ( 1 - x ) - 1 = 0
( 1 - x ) - 1 = - 根号 ( 1 - x )
1 - x - 1 = - 根号 ( 1 - x )
- x = - 根号 ( 1 - x )
x ² = 1 - x
x ² + x - 1 = 0
哎 ？ 这次 变回来了， 新方程 和 原方程 一样 。
还可以， 把 x ² = 1 - x 和 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0 ， x ² = 1 - x 替换 x ²， x = 1 - x ² 替换 x ，
1 - x + 1 - x ² - 1 = 0
- x ² - x + 1 = 0
x ² + x - 1 = 0
这次 也 变回来了， 新方程 和 原方程 一样 。
还可以， 把 x = 根号 ( 1 - x ) 和 x ² = ( 1 - x ² ) ² 代入 x ² + x - 1 = 0 ， x = 根号 ( 1 - x ) 替换 x， x ² = ( 1 - x ² ) ² 替换 x ² ，
略 。
如果 方程 是 2 x ² + x - 1 = 0 ， 又 是 怎样 的 景象 ？
小朋友们， 你们 发现 什么 规律 了 吗 ？
这些规律 可以 表述 为 一个 定理， 称为 “等式运算变换规则”， 或 “等式运算变换定理”， 以后发表 。
还可以 再 试试 一些 其它的 代入 的 做法， 虽然 这些 做法 可能 是 有问题 的， 不合理 的 。
比如， 把 x ² = 1 - x 代入 x ² + x - 1 = 0 ， 只 替换 x ²， x 保持不变，
1 - x + x - 1 = 0
0 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 ， 新方程 0 = 0 。
比如， 把 x = 根号 ( 1 - x ) 代入 x ² + x - 1 = 0 ， 只 替换 x， x ² 保持不变，
x ² + 根号 ( 1 - x ) - 1 = 0
x ² - 1 = - 根号 ( 1 - x )
( x ² - 1 ) ² = [ - 根号 ( 1 - x ) ] ²
x ⁴ - 2 x ² + 1 = 1 - x
x ⁴ - 2 x ² + x = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 ， 新方程 x ⁴ - 2 x ² + x = 0 ， 新方程 产生了 增根 。
比如， 把 x = 1 - x ² 代入 x ² + x - 1 = 0 ， 只 替换 x， x ² 保持不变，
x ² + 1 - x ² - 1 = 0
0 = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 ， 新方程 0 = 0 。
比如， 把 x ² = ( 1 - x ² ) ² 代入 x ² + x - 1 = 0 ， 只 替换 x ²， x 保持不变，
( 1 - x ² ) ² + x - 1 = 0
1 - 2 x ² + x ⁴ + x - 1 = 0
x ⁴ - 2 x ² + x = 0
原方程 x ² + x - 1 = 0 ， 新方程 x ⁴ - 2 x ² + x = 0 ， 新方程 产生了 增根 。
如果 方程 是 2 x ² + x - 1 = 0 呢 ？
二元一次方程组
x + y = 0
2 x + y = 0
如果 直接相加
3 x + 2 y = 0
得到的 这个方程 是 一个 不定方程， 可以说 和 原方程组 没什么 关系 。