写这篇文章 的 原因 见 《和 小梦 探讨 一个 经典力学 问题》 https://tieba.baidu.com/p/6817533042 的 12 楼 。
我 以前写过 《认真一点的说， 寻找 功 的 公式 W = Fs 是 一个 泛函问题》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13288644.html ， 《从 功 W = Fs 推导出 动量守恒》 https://tieba.baidu.com/p/7020384200 ， 《物理学 的 基本原理》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13358103.html 。
在 《物理学 的 基本原理》 的 结尾， 说到了 “功 和 能 的 起源” ，
“
物理学 的 基本原理 还 包括 ：
杠杆原理
二体问题
功 和 能 的 起源
等等 。
”
一直以来， 物理学 流传着 一个 传说 ： 用 动量守恒 解 的 题， 不能 用 能量守恒 解 ； 用 能量守恒 解 的 题， 不能 用 动量守恒 解 。
大家 在 中学 的 时候， 老师 有没有 对 你们 口口相授 过 这个 传说 ？ 老师 也许会说， 等 你们 进入 高等学府， 你 就 知道 这个 传说 背后 真正的 原理， 你就 能 用 真正 的 原理 解题 了 。
等 你 进了 高等学府 ， 乃至 成了 科学家， 你会发现， 老师说的 “背后 真正的 原理” 并不存在， 高等学府 和 科学家 还是 沿袭 和 应用 着 “用 动量守恒 解 的 题， 不能 用 能量守恒 解 ； 用 能量守恒 解 的 题， 不能 用 动量守恒 解” 这一原理 。
说到这里， 家长们 提问， “既然这样， 那 老师 能不能 总结一下， 什么时候 用 动量守恒， 什么时候 用 能量守恒 ？”
我一听 乐了， 好吧好吧， 我 告诉 你们， 这可是 口诀 哦 ： 如果 相互作用 的 两个物体 都是 “活动的”， 就 使用 动量守恒 ； 如果 相互作用 的 两个 物体 一个 是 “活动的”， 另一个 是 “固定的” （比如 和 大地 连在一起）， 就 使用 能量守恒 。
几百年来， 一代代 物理学家 把 物理学 建设到 今天 这样 宏伟高级， 其中 也是有 这个 口诀 的 屡试不爽 。
家长们 听了 嘁嘁喳喳， 欢欣鼓舞， “谢谢老师 ！”
不用谢 ……
这时， 有 同学 提问， “老师， 你说的不对， 有一类题目， 是这样的， 两个 小球 相撞， 先用 动量守恒 求出 相撞后 两个 小球 的 速度， 再根据速度 求出 相撞前后 的 总动能， 相撞前后 的 总动能 之差 就是 有多少动能 转换成了 其它 形式的 能量， 比如 热能 。”
嗯 …… 我 挠了挠头， 好像 是有这么回事， 我们来 看一看 这一类 题目 。
设 有 A 、B 两个 小球， 质量相等， 均 为 m， A 、B 的 速度 为 va, vb， va = v， vb = 0 ， A 碰撞 B， 是 刚性碰撞， A 减少的 速度 全部 传给了 B， 成了 B 的 速度 。
设 碰撞 后 A 、B 的 速度 为 va ′, vb ′， va ′ = 0
根据 动量守恒 m * va + m * vb = m * va ′ + m * vb ′
m * v + m * 0 = m * 0 + m * vb ′
m * v + 0 = 0 + m * vb ′
m * v = m * vb ′
vb ′ = v
看 能量 守不守恒，
碰撞前 总动能 = 1/2 * m va ² + 1/2 * m vb ² = 1/2 * m v ² + 1/2 * m * 0 ² = 1/2 * m v ² + 0 = 1/2 * m v ²
碰撞后 总动能 = 1/2 * m va ′ ² + 1/2 * m vb ′ ² = 1/2 * m * 0 ² + 1/2 * m * v ² = 0 + 1/2 * m v ² = 1/2 * m v ²
碰撞前 总动能 = 碰撞后 总动能， 能量守恒， OK 。
设 A 的 质量 仍为 m， B 的 质量 为 M， M > m 。
根据动量守恒 m * va + M * vb = m * va ′ + M * vb ′
m * v + M * 0 = m * 0 + M * vb ′
m * v + 0 = 0 + M * vb ′
m * v = M * vb ′
vb ′ = m / M * v
碰撞前 总动能 Ek = 1/2 * m va ² + 1/2 * M vb ² = 1/2 * m v ² + 1/2 * M * 0 ² = 1/2 * m v ² + 0 = 1/2 * m v ²
碰撞后 总动能 Ek ′= 1/2 * m va ′ ² + 1/2 * M vb ′ ² = 1/2 * m * 0 ² + 1/2 * M * ( m / M * v ) ² = 0 + 1/2 * m ² / M v ² = 1/2 * m ² / M v ²
Ek = 1/2 * m v ²
Ek ′= 1/2 * m ² / M v ²
显然， Ek != Ek ′ ， 什么 ？ 这是 什么情况 ？ 能量不守恒了 ？
这令人 吃惊， 我们 不得不 一遍又一遍 的 检查 推理 和 计算过程， 是不是 哪里 搞错了 ？
有人说 ， 刚性碰撞 是 理想状况， 实际中 肯定会有一部分动能 转换成 其它 形式 的 能量 的 ……
但， 这 分 2 点 来说，
1 理想状况 下 的 理论计算 的 结果 应该 也是 要 在 “理想状况” 下 能量守恒 的 吧 ？
2 如果 有 一部分 动能 转换成了 其它 形式 的 能量， 那么， 这部分 能量 记为 ⊿ E， ⊿ E = Ek - Ek ′
⊿ E = Ek - Ek ′
= 1/2 * m v ² - 1/2 * m ² / M v ²
显然， Ek 应 大于 Ek ′， 即 1/2 * m v ² > 1/2 * m ² / M v ² ，
因为 M > m， m / M < 1， 1/2 * m v ² > 1/2 * m v ² * m / M = 1/2 * m ² / M v ² ，
1/2 * m v ² > 1/2 * m ² / M v ² 成立 。 于是， ⊿ E = 1/2 * m v ² - 1/2 * m ² / M v ² 。
⊿ E 就是 动能 转换成 的 热能 ？ 有点 想当然， 可以从 理论上 来 证明， 但 理论上 分析 这个问题 比较 麻烦， 我们 可以 直接看 实验数据 。 @上帝之友sdzy
我可以先给出一个预告， 第一， ⊿ E 不等于 动能 转换成 的 其它 能量， 比如 热能 、弹性势能 。 第二， 若 有一部分 动能 转换成 了 其它 能量， 则 碰撞后 的 总动量 小于 碰撞前 的 总动量 mv ， 即 不满足 动量守恒 公式， 也可以说 “动量不守恒” 。 注意 这里 的 碰撞 是 碰撞前 A 运动， B 静止 ； 碰撞后 A 静止， B 运动 。
还可以这样来看， 若 M < m， m / M > 1， 1/2 * m v ² < 1/2 * m v ² * m / M = 1/2 * m ² / M v ² ，
1/2 * m v ² < 1/2 * m ² / M v ² ， 这和 Ek 应 大于 Ek ′， 即 1/2 * m v ² > 1/2 * m ² / M v ² 矛盾了 。
还可以 计算 其它 的 情况， 比如
va != 0 , vb = 0 ， va ′ != 0 , vb ′ != 0
va != 0, vb != 0 ， va ′ != 0 , vb ′ != 0
M > m
M 远大于 m
M 大于 接近 m
M < m
M 远小于 m
M 小于 接近 m
等等 。 此处 略 。 大家可以试试， 看 有什么 发现 ？
设 一个 质量 为 m 的 物体， 初速度 为 v₀ ， 在 力 F 的 推动下 前进， 经过 时间 t 后， 它 的 速度 为 v， 经过 路程 为 s，
v = v₀ + F / m * t
s = v₀ * t + 1/2 * F / m * t ²
F 做的功 W = F s = F * ( v₀ * t + 1/2 * F / m * t ² ) = v₀ * F * t + 1/2 * F ² / m * t ²
若 初速度 v₀ = 0， F 做的功 W0 = 1/2 * F ² / m * t ²
注意看，
W = v₀ * F * t + 1/2 * F ² / m * t ²
W0 = 1/2 * F ² / m * t ²
W 和 W0 相差 一个 v₀ * F * t ， 同样 的 一个 力 F， 推动物体 的 时间 是 一样 的 t， 那么， 物体 有没有 初速度， F 做的 功 应该 是一样 的， 但 这里， W != W0 ， 且 初速度 v₀ 越大， W 越大 。 v₀ 很大 时， W 远大于 W0， 就 因为 物体 的 初速度 大， F 做的 功 真的有 那么 大 吗 ？
从这里 可以看出来， 功 是 一个 虚拟 的 概念 。
“功” 是 力 的 贡献， 力 的 效用， 是 付出， 是 成果， 是 力量， 是 能力， “劳苦功高”， 力拔山兮气盖世（这是 功率，哈哈） 。 力 越大， 功 越大， 力 的 作用时间 越长， 功 越 大 。
功 是 由 力 和 时间 决定 的， 也就是 功 = 力 * 时间 。 也就是 W = F * t 。 而 功 = 力 * 位移 ， 也就是 W = F * s 这个 “功” 是 一个 虚拟量 。
v = v₀ + F / m * t
动能 Ek = 1/2 * m v ²
= 1/2 * m * ( v₀ + F / m * t ) ²
= 1/2 * m * [ v₀ ² + 2 * v₀ * F / m * t + ( F / m * t ) ² ]
= 1/2 m v₀ ² + v₀ * F * t + 1/2 * F ² / m * t ²
看， 这里 中间的 一项 v₀ * F * t ， W 里 也有 v₀ * F * t 这一项， W 里 的 v₀ * F * t 就是为了 满足 这里 Ek 里 的 v₀ * F * t 。
这样的话， 可以
Ek = 1/2 m v₀ ² + v₀ * F * t + 1/2 * F ² / m * t ²
= 1/2 m v₀ ² + ( v₀ * F * t + 1/2 * F ² / m * t ² )
= Ek₀ + W
即 Ek = Ek₀ + W ， 其中 Ek₀ = 1/2 m v₀ ² ， 表示 物体 的 初始动能 。
Ek = Ek₀ + W 表示 功 和 能 统一 了 。
最初 提出 “功” 这个概念 大概 是 为了 描述 和 解决 一些 不适合用 动量守恒 的 场合 的 力 的 “作用” 的 传递 和 守恒 问题 。
功 还有 一个 特性 是 两个 力 做的 功（标量） 的 和 等于 两个力 的 合力（矢量和） 做 的 功 。 这个 特性 很有用， 可以 很大 的 简化 解题过程， 也是 一个 大发明 。 比如 二体问题（天体 的 椭圆轨道） 的 传统解法 就是 用 机械能守恒 来 解 的 。 具体的说， 是 角动量守恒 和 机械能守恒 。 注意， 角动量守恒 不是 动量守恒， 有趣的是， 我在 《从 功 W = Fs 推导出 动量守恒》 里 说 “二体， 角动量守恒 则 动量不守恒， 动量守恒 则 角动量不守恒 。 这里面 似乎 也 暗藏了 什么 玄机 ？”
“两个 力 做的 功（标量） 的 和 等于 两个力 的 合力（矢量和） 做 的 功” 这个 特性 要 在 两个 力 的 方向 正交 的 情况 下 才 成立 。
其实 说白了， W = F * s 就是 为了 凑平方， 为什么 要 凑平方 ？ 因为 要 勾股定理， 为什么 要 勾股定理 ？ 因为 要 矢量合成 ……
从这里也可以 看出来， 功 是 为了 满足 某些需求 而 定义 出 的 虚拟 的 量 。
就像 @星野梦美a （宇心） 在 《@高松山，筷子理论可能是正确的》 https://tieba.baidu.com/p/7710778969 的 7 楼 说 的 “物理学中的虚数描述的不是对象，而是关系。”
来看一个 实验，
一个大球 M， 一个小球 m， 假设 牛顿第一定律 、牛顿第二定律 、牛顿第三定律 都 成立， M 和 m 间 存在 引力 F， F 为 恒力 。
第一步 的 时候， M 和 m 相距 L， M 静止， m 以 速度 v = v₀ 出发， 在 引力 F 作用下， v 逐渐变小， 到 第二步 时， v 减为 0， 之后 在 F 作用下 加速 向 M 运动 。
第三步 时， m 和 M 相距 L， m 的 速度 v = v1 。
可知 在 第二步 v = 0 时， m 的 动量 全部 传给了 M， 因为 牛顿第一定律 、牛顿第二定律 、牛顿第三定律 都 成立， 所以 动量守恒 ， 此时 M 的 动量 为 m v₀ ，
第三步 时， 因为 从 第一步 到 第三步， 大球 M 一直 在 向前运动， 因此 小球 m 从 v = v₀ 位置 到 v = 0 位置 的 距离 大于 从 v = 0 位置 到 v = v1 位置 的 距离， 由此可知 | v₀ | > | v1 | ， | v₀ | 和 | v1 | 是 v₀ 和 v1 的 绝对值， 也可以说 速率 。
第二步 时， 大球 M 的 动量 是 m v₀ ， 到 第三步， M 一直在加速， 因此 第三步 时 M 的 速度 大于 第二步 时 的 速度， 则 第三步 时 M 的 动量 大于 第二步 时 M 的 动量 m v₀ 。
m v₀ 是 第一步 时 的 系统 总动量， 记为 P₀ = m v₀ ， M 的 动量 记为 PM， m 的 动量 记为 Pm ，
第三步 时， PM > m v₀ = P₀ ， Pm = m v1， 可知 | PM | > | P₀ | ， | PM | + | Pm | > | P₀ |
| PM | + | Pm | > | P₀ | 表示 第三步 时 的 动量绝对值 总和 大于 第一步 时 的 动量绝对值 总和， 这 意味着 系统 的 动能总和 增加了 。
这个 现象 称为 “能量可以创生现象” 。
这里， 如果要 “能量守恒”， 也就是 让 系统 的 动量绝对值 总和 守恒， 就要 在 比如 小球 m 远离 大球 M 时， 不能把 m 减少的 动量 全数 传给 M， 要 把 m 减少 的 动量 的 一部分 由 引力 自己 “储藏起来”， 只 把 另一部分 传给 M ， 但 这样 就要求 对 m 的 力 F 大于 对 M 的 力 F， 这样 牛顿第三定律 就 不成立 了 。
如果 既要 动量绝对值 总和 守恒， 又要 牛顿第三定律 成立， 则 M 在 F 作用下 的 加速度 比 F / M 要 小一些， 实际上 就是 牛顿第二定律 不成立， 这样 动量 就 不守恒 了 。
其实这里还是有一点问题的， 第一步 和 第三步 的 M 和 m 的 距离 都为 L， 但 第一步 的 M 和 m 之间 的 “引力势能” 和 第三步 的 M 和 m 之间 的 “引力势能” 相等 吗 ？
再来看一个 实验， 一个 电磁铁 固定， 把 一块 永久磁铁 放到 离 电磁铁 一段距离 的 地方， 然后 让 电磁铁 通电， 产生磁性， 电磁铁 的 N 极 正对 永久磁铁 的 S 极， N 极 和 S 极 产生 引力， 吸引 永久磁铁 向 电磁铁 运动， 到达 电磁铁 时， 永久磁铁 速度 为 v， 具有 动能， 而 刚才 我们 把 永久磁铁 拿到 离 电磁铁 一段距离 的 地方 时， 电磁铁 没有 引力， 因此 我们 并没有 克服 磁力（引力） 做功， 因此 永久磁铁 速度 为 v 的 动能 是 凭空创造出来 的 。
一般， 我们 想当然 的 说 “能量守恒”， 大概 是 觉得 万有引力 不会断电， 假设 我们 让 一艘 飞船 以 速度 v = v₀ 从 地面 出发， 飞到 距离 地球 L 时 v = 0， 此时， 地球引力 没了， 地球 没有 引力 了 ， 飞船 就 停在 了 太空 中， 说好的 “动能转换成 引力势能 储存起来” 呢 ？ 于是， 我们 开动 飞船 的 火箭发动机， 让 飞船 飞回地球， 飞船 到达 地面 时， 地球引力 恢复了， 地球 又 有 引力 了 。 飞船 出发 时 速度 为 v₀ ， 这个 动能 不是i说 “转换成 引力势能 储存起来” 了吗 ？ 现在 到 哪里 去找 ？
我还 思考了 一些 详细 的 情况 ， 但 说起来 比较麻烦， 就不说了 。 比如 大家 可以 分析 一下 弹簧 的 情况 看看 。
我们可以把 功 定义 为 力 * 时间， 即 F * t， 把 能 定义为 | mv | ， 即 动量 的 绝对值 。
有时候， 动量（绝对值） 会 转换成 其它形式， 比如 弹性 、热 。 这里 又 引出了一个问题， 罡吧 @罡风潇洒 提出的 问题 ： 究竟是 原子分子微粒 运动 是 热， 还是 热 让 原子分子微粒 运动 ？