《三维坐标系由一次转动代替“平动+转动”是否能得到数学证明?》 https://tieba.baidu.com/p/7656957355 。
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对 《数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数》 https://tieba.baidu.com/p/7647533106 的 14 楼 的 回复讨论 做一个 总结 。
三维空间 中， 取 一个 三维坐标系 O， 原点 为 O 。 在 空间中 取 线段 AB 和 A ′ B ′， AB 平移 + 旋转 后 可与 A ′ B ′ 重合 且 方向相同， 方向相同 指 A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合 。 作直线 OA ′ ， 记为 L 。 当前， AB 在 原位置， 取 另一个 三维坐标系 O ′ ， AB 在 O ′ 系 中 作一次 三维旋转， 可 旋转 为 A 在 L 上， AB 和 A ′ B ′ 平行 且 方向相同， 但 不和 A ′ B ′ 重合 。
A 在 L 上， AB 和 A ′ B ′ 平行 且 方向相同， 但 不和 A ′ B ′ 重合 ， 这 记为 条件 1 。
可以 旋转 AB 使得 满足 条件 1 的 O ′ 有 无数个， 每个 O ′ 对应 一个 L 上 的 A， 每个 O ′ 的 A 并不相同 。
L 上 A 和 A ′ 之间 的 距离 存在 一个 最小值 。
通俗的说， 就是 说 把 AB （物体） 在 O 系 里 平移 + 旋转 移动到 一个 新的 位置 并 呈一个 新的 姿态角度， 那么， 让 AB 回到 原位置， 取 一个 新的 坐标系 O ′， 让 AB 在 O ′ 里 做一次 三维旋转 ， 可以 把 AB （物体） 旋转 到 刚刚 平移 + 旋转 后 的 那个 姿态角度， 但是 位置 上 有一定 差距 。 这样 的 O ′ 可以 取 无数个， 都可以 让 AB 旋转 后 的 姿态角度 和 平移 + 旋转 后 的 姿态角度 一样， 但 在 位置 上 都有 差距 。 在 每个 O ′ 里 旋转 AB 后， AB 的 姿态角度 一样， 但 位置 都不一样， 每个 O ′ 对应一个 AB 的 位置， 这里 的 位置 是说 O 系 里 的 位置 。 但 无论 怎么 取 O ′ ， 旋转后 AB 的 位置 和 平移 + 旋转 后 的 位置 都有 一定 距离， 不可能 无限接近 。
上面 这些内容 是 一个 定理， 是 可以证明 的 。 这个 定理 称为 “三维空间 一次 旋转 是否能 等价 平移 + 旋转 定理” ， 又名 “三维空间 任意的 一次 位置 和 姿态角度 变化 能不能 用 一次 旋转 完成 定理”， 又名 “三维空间 O 系 和 O ′ 系 的 一次 旋转 是否 可等价 互换 定理”， 又名 “三维空间 O 系 的 一次旋转 能否 由 O ′ 系 的 一次 旋转 等价实现 定理”，
又名 “三维空间 一个 坐标系 里 的 二次旋转 是否可 等价 一次旋转 ”，
又名 “三维空间 位置 和 姿态 变化 的 数学变换 的 基本定理 ” 。
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5 楼
之前 认为 三维 里 平移 + 旋转 不能 用 一次旋转 来 实现（等价） 的 结论 是 错误的， 我刚 想到了一个 方法 ， 用 2 个 二维旋转 就可以 实现 线段 AB 任意 的 位置姿态 变成 另一个 位置姿态 。 这个 方法 的 解 至少 有 2个， 可能 还有 若干个 。 这个 方法 跟 你说的 固定一个点 比如 B 在 一个 轴 上， 围绕 轴 旋转 的 方法 差不多 。
除了 上述方法， 因为 O ′ 可以是 任意的， 任意 的 O ′ 可能 还会产生 无数个 解 。
7 楼
接着说 5 楼 说 的 用 2 个 二维旋转 实现 线段 AB 任意 的 位置姿态 变成 另一个 位置姿态 的 方法 。
先要 提出一个 定理 ： 在 二维平面 上， 任意 的 两个 线段 AB 和 A ′ B ′ ， （AB 和 A ′ B ′ 可以 在 一条 直线 上， 但 方向 不能 相同 ）， 总可以 找到一个 支点， 让 AB 围绕 支点 旋转 和 A ′ B ′ 重合 且 A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合 ， 且 支点 是 唯一 的 。
其实 AB 和 A ′ B ′ 在 一条 直线 上， 方向 相同 也可以， 只不过 这样的话， 支点 就在 无穷远 处， 因为 在 无穷远 处， 可以有 无数个 支点 。
这个 定理 称为 “二维万向旋转定理” 。
三维空间 里， 任意 的 两个 线段 AB 和 A ′ B ′ ， B 点 和 A ′ B ′ 确定一个平面， 记为 P， 在 P 上， 过 B 点 作一条直线， 记为 y， 让 AB 围绕 y 在 三维空间 里 旋转， 可以 旋转 到 P 上 。 在 P 上， 根据 二维万向旋转定理， 存在一个 支点， AB 围绕 这个 支点 旋转 可以 旋转到 和 A ′ B ′ 重合 且 A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合 。
但 这个 支点 不一定 在 y 上， 可以 在 P 上 让 y 围绕 B 点 旋转， 改变 y 的 角度， 尝试 让 y 接近支点 最终 让 支点 在 y 上， 但 改变 y 的 角度 也会 改变 AB 围绕 y 旋转 到 P 上 后 AB 在 P 上 的 角度， 这也会 改变 支点 的 位置， 即 改变 y 的 角度 的 同时 支点 的 位置 也随之 改变， 这里面 有一个 或 几个 平衡点， 可以让 支点 刚好 在 y 上 。
当 支点 在 y 上 时， 记为 O ， 过 O 作 直线 x 与 y 正交， 让 x 作为 x 轴， y 作为 y轴， 就 构成了 一个 二维直角坐标系， x - y 平面 即 P ， 过 O 作 直线 z 垂直于 P， 让 z 作为 z 轴， 就 构成了 x - y - z 三维直角坐标系 。
这样 就是 围绕 y 轴 和 z 轴 2 次 二维旋转 就 让 AB 旋转到 和 A ′ B ′ 重合 。
这个 方法 也是 一个 定理， 称为 “三维万向旋转定理” 。
其实 还可以 把 AB 旋转到 y 轴 的 左边， 这样 也是 一个 或 几个 支点 在 y 上 。 注意， 每个 支点 对应 的 y 的 方向（角度） 是不同的 ， 一个 支点 对应 一个 y， 不是 多个 支点 在 同一个 y 上 。 以 下图 来说 的话， 似乎 可以有 无数个 支点 在 y 上 的 情形 。
也就是， 左边 一个 或 几个 解， 右边 一个 或 几个 解， 加起来 就是 二个 或 几个 解 。
未完待续 。
10 楼
先纠正 7 楼 后半部分 的 一个 错误 。 7 楼 后半部分 说 第 2 个 图 可以有 无数个 解（无数个 支点 在 y 上 的 情形） 是 不对 的 。 第 2 个 图 里 AB 和 A ′ B ′ 看起来 成 轴对称， 轴对称 的 情况 应该是 只有 一个 支点， 这个 支点 是 AB 、A ′ B ′ 的 延长线 交点 。 这就有一个 问题， 支点 要在 y 上， 支点 在 AB 的 延长线 上， B 点 也要 在 y 上， 这 意味着 AB 和 y 在 一条直线 上 。
但 AB 是 在 空间 中 围绕 y 旋转到 平面 P 上 的， 所以 在 P 上 AB 不可能 和 y 重合 。 这就出问题了， 难道 这里 无解 ？
其实 还是 有 解 的， 只要 调整 y 的 方向（角度）， 让 AB 围绕 y 旋转到 P 上 不要 和 A ′ B ′ 成 轴对称 就可以了 。 解 也是 一个 或 几个 。
说到这里， 还想到， 7 楼 一开始 说 “支点 是 唯一 的”， 其实 有些 特例 可能 有 2 个 支点， 这句话 好像 废话， 哈哈哈哈 。
《数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数》 https://tieba.baidu.com/p/7647533106 的 11 楼 里 列了 一个 6 元方程组 ， 进一步说明一下 。
O 系 的 坐标 为 X, Y, Z ， O ′ 系 的 坐标 为 x, y, z 。 一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 合成，分别是 围绕 x 轴 、y 轴 、z 轴 旋转， 旋转角度 为 θx, θy, θz 。
设 坐标系旋转公式 为
x ′ = fx ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, x )
y ′ = fy ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, y )
z ′ = fz ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, z )
x, y, z 为 某点 旋转前 的 坐标， x ′, y ′, z ′ 为 旋转后 的 坐标， x, y, z ， x ′, y ′, z ′ 都是 O ′ 系 坐标 。
X支, Y支, Z支 为 支点坐标， 也就是 O ′ 系 的 原点 O ′ 在 O 系 里 的 坐标 。
设 空间中 任意 的 两个线段 AB 、A ′ B ′ ， 在 O 系 里， AB 经过 平移 + 旋转 后 和 A ′ B ′ 重合， A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合 。 现在， 让 AB 回到 原位， 要看 AB 在 O ′ 系 里 能否 通过 一次旋转 就和 A ′ B ′ 重合， 可以 列 方程组 ：
xa ′ = fx ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, xa )
ya ′ = fy ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, ya )
za ′ = fz ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, za )
xb ′ = fx ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, xb )
yb ′ = fy ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, yb )
zb ′ = fz ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, zb )
xa, ya, za 是 A 旋转前 的 坐标， xa ′ ya ′za ′ 是 A 旋转后 的 坐标， 也是 A ′ 的 坐标， xb, yb, zb 是 B 旋转前 的 坐标， xb ′ yb ′zb ′ 是 B 旋转后 的 坐标， 也是 B ′ 的 坐标 。 这些 都是 O ′ 里 的 坐标 。
xa, ya, za ， xa ′, ya ′, za ′， xb, yb, zb ， xb ′ yb ′zb ′ 是 已知数， X支, Y支, Z支, θx, θy, θz 是 未知数 。
实际上， 我们知道的是 O 系 里 A 、B 、A ′ 、B ′ 的 坐标， 也就是 Xa, Ya, Za， Xb, Yb, Zb， Xa ′, Ya ′, Za ′， Xb ′, Yb ′, Zb ′ ， 所以 这些 O 系 的 坐标 要 转换成 O ′ 系 的 坐标 xa, ya, za ， xa ′, ya ′, za ′， xb, yb, zb ， xb ′ yb ′zb ′ ， 如下 ：
设 O 系 的 X, Y, Z 轴 和 O ′ 系 的 x, y, z 轴 平行 （注意， 这一点 很重要）
xa = Xa - X支
ya = Ya - Y支
za = Za - Z支
xa ′, ya ′, za ′， xb, yb, zb ， xb ′ yb ′zb ′ 依此类推 。
这样， 6 元 方程组， 6 个 未知数， 6 个 方程， 解 是 一个 或 几个 解， 或 无解 。
但 我们 这里 是 设 O 系 的 X, Y, Z 轴 和 O ′ 系 的 x, y, z 轴 平行， 如果没有 这个 限制， 那么， O 系 到 O ′ 系 的 坐标转换 还要 考虑 O 系 和 O ′ 系 之间 所成 的 角度， 这个角度 也是由 3 个 角度 θx支, θy支, θz支 表示， 这 3 个 角度 是 O ′ 系 自身 围绕 自身 的 x, y, z 轴 旋转 的 角度 。
考虑到 O ′ 系 和 O 系 成 一定角度， 则 O 系 到 O ′ 系 的 坐标转换公式 就 不是 xa = Xa - X支 ， 而是会 加入 角度 的 因素， 即 公式中 会有 X支 、θx支 这 2 个 量，可以写成 xa = O1_to_O2_x ( Xa, X支, θx支 ) 。
这样， 上面的 6 元方程组 就 增加了 3 个 未知数 θx支, θy支, θz支， 一共 是 9 个 未知数 X支, Y支, Z支, θx支, θy支, θz支, θx, θy, θz 。
6 个 方程， 9 个 未知数， 这是一个 不定方程组， 可能 有 无数个 解 。
如果 X支, Y支, Z支 确定 而 θx支, θy支, θz支 待定， 即 X支, Y支, Z支 已知， θx支, θy支, θz支 未知， 那么， 又变回 6 个 未知数， 只不过 现在的 未知数 是 θx支, θy支, θz支, θx, θy, θz 。 这样， 又回到 6 个 方程 ， 6 个 未知数， 有 一个 或 几个 解， 或 无解 。
6 个 方程 ， 6 个 未知数 的 6 元 方程组 有 几个 解， 这是 可以 研究 的， 但 研究 三角函数 的 二次式（或 二次以上） 的 多元方程组 是 一件 麻烦事， 有点像 代数基本定理， 但 比 代数基本定理 麻烦 。
未完待续 。
13 楼
我在 10 楼 又说错了一个 地方， 哈哈， 纠错 很麻烦 。
如果 使用了 O ′ 系 的 坐标， 比如 xa, xa ′ ， 那 在 坐标旋转公式 x ′ = fx ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, x ) 里 就不用 出现 X支, Y支, Z支 了，
也就是公式 应该是 x ′ = fx ( θx, θy, θz, x )
方程 也 应该是 xa ′ = fx ( θx, θy, θz, xa )
当然， 实际上 在 方程 里 仍然 有 X支, Y支, Z支 ， 包含在 xa ′ , xa 里， 从 O 系 坐标 Xa ′ , Xa 转换为 O ′ 系 坐标 xa ′ , xa 时， 会 包含 X支, Y支, Z支 。
我 以前 写过 一篇 《证明一下 三角和 公式》 https://tieba.baidu.com/p/7662881342 ， 里面 推导过 二维坐标系 的 坐标旋转公式 。
一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 （围绕 x, y, z 轴 旋转） 合成， 由 二维 的 坐标旋转公式 进一步 推导 就可以得到 三维 的 坐标旋转公式 。
二维万向旋转定理 和 三维万向旋转定理 这一类 题目 适合 用 人工智能 解题， 也可以说 适合 用 规划 解题 。
因为 这些 题目 的 解 的 分布空间 （区域 、情况） 本来 就是 可以 直观 的 推理 出来 的 。 比如 二维万向旋转定理， 二维平面 上 任意 的 两个 线段 AB 、A ′ B ′ ， 存在 支点， 让 AB 围绕 支点 旋转 和 A ′ B ′ 重合， 寻找 支点 。
要 寻找 支点， 可以 根据 AB 和 A ′ B ′ 的 位置 、角度 、方向 分为 几大类 情况 。
每一类情况 的 支点 有 各自 的 规律 。
证明 二维万向旋转定理 和 三维万向旋转定理 也是 类似， 先 把 情况 分为 几大类， 也就是 解 分为 几大类， 每一类 解 具体 的 证明 可以用到 计算，比如 解析几何， 但也可以试试 用 反证法 、夹逼法 等 技巧 来 证明 ， 这里 说 “反证法 、夹逼法 等 技巧” 有一个 意思 是 想 强调 一些 直观 和 逻辑 上 的 方法， 不一定 是 计算 和 解方程， 或者 研究 方程 有几个 根 。
二维万向旋转定理 可以 从 直观 上 推理论证， 虽然 离 严格证明 还有一定距离， 但 也是 很有用 的 。
说到这里， 会 想到 四色定理 ， 其实 可以 基于 直观 提出一些 和 曲线 相关 的 公设， 比如
曲线 的 一侧， 曲线 的 另一侧
曲线 相交
曲线 构成边界
使用 这些公设 ， 证明 四色定理 很容易 。
同样， 使用 这些公设 ， 证明 庞加莱猜想 也很容易， 证明 很多 泛函问题 也很容易 。
用 规划 解 二维万向旋转定理 和 三维万向旋转定理 问题， 是 一个 规划问题 。 计算机 下象棋 、下围棋， 也是 一个 规划问题 。 可以说 它们 是 同一类问题 。
这些 问题 都可以 归为 “最优路径问题”， 又称为 “快递员问题”， 我在 《排列组合》 https://tieba.baidu.com/p/6932911873 里 提过 快递员问题 。
最优路径问题 也可以说是 魔方问题 ， 比如， 玩魔方， 就是 寻找一个 正确 的 路径， 最好 是 最短 的 那一条 路径 。
有意思的是， 快递员问题 是 一个 “离散” 问题， 一个 组合数学 问题 。
未完待续 。
一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 （围绕 x, y, z 轴 旋转） 合成 。
三维 里 平移 + （三维）旋转 能否 由 一次 （三维）旋转 实现 （等价） ？ 这个 课题 也是一个 定理， 称为 “三维空间 一次 旋转 是否能 等价 平移 + 旋转 定理” ，
又名 “三维空间 任意的 一次 位置 和 姿态角度 变化 能不能 用 一次 旋转 完成 定理”，
又名 “三维空间 O 系 和 O ′ 系 的 一次 旋转 是否 可等价 互换 定理”，
又名 “三维空间 O 系 的 一次旋转 能否 由 O ′ 系 的 一次 旋转 等价实现 定理”，
又名 “三维空间 一个 坐标系 里 的 二次旋转 是否可 等价 一次旋转 定理 ”，
又名 “三维空间 位置 和 姿态 变化 的 数学变换 的 基本定理 ” 。
简称 “旋转 代替 平移 + 旋转 定理” 、 “旋转 代替 平移旋转 定理” 。
这个 定理 的 解 也是可以 分为 几大类， 比如 7 楼 的 三维万向旋转定理 就是 一类 解， 10 楼 的 6 元方程组 也是 一类解， 如果 不限制 O ′ 的 位置 和 角度， 6 元方程组 就 变成 9 元不定方程组， 9 个 未知数， 6 个 方程， 可能有 无数个 解， 这也是 一类解， 也是 广泛 的 、广义 的 解 。
一个有意思 的 问题 是， 这些 解 是不是 离散分布 的 ？
简单一点， 让 O ′ 沿着 空间中 一条 直线 移动， O ′ 在 直线 上 的 位置 记为 s ， 每一个 s 对应 一个 O ′ 的 位置 X支, Y支, Z支， 也就是， X支, Y支, Z支 已知， 9 元不定方程组 又 变回 6 元方恒组 ， 未知数 为 θx支, θy支, θz支, θx, θy, θz ， 每一个 s 对应 一个 6 元方程组， 这个 6 元方程组 的 解 可能是 若干个， 每一个 解 包含 θx支, θy支, θz支, θx, θy, θz 。
假设 此时 的 s 对应 的 6 元方程组 有 4 个 解， 记为 ：
解 1 ： θx支1, θy支1, θz支1, θx1, θy1, θz1
解 2 ： θx支2, θy支2, θz支2, θx2, θy2, θz2
解 3 ： θx支3, θy支3, θz支3, θx3, θy3, θz3
解 4 ： θx支4, θy支4, θz支4, θx4, θy4, θz4
让 s 变化， 画出 s 和 θx支1 的 函数曲线， s 和 θx支2 的 函数曲线， s 和 θx支3 的 函数曲线， s 和 θx支4 的 函数曲线， 开始时， 这些 函数曲线 也许 是 连续的， 但 当 s 变化到 一定 的 值 时， 其中 的 一些 函数 曲线 也许 会 断裂 呢 。
也可以 画出 s 和 解 1 、解 2 、解 3 、解 4 里 其它 未知数 的 函数曲线 。 一共可以画 4 * 6 = 24 幅 函数曲线 。
也许 可以画出 像 Collatz Map 那样 的 图像 呢 。 Collatz Map 见 《《An Easily Started Problem With No Solution In Sight》译文》 https://tieba.baidu.com/p/6672112544 。
未完待续 。
规划 好， 但 牛顿迭代法 也好 。
这里 的 牛顿迭代法 是 指 将 多元方程组 线性化 为 线性多元方程组， 再 迭代求解 的 方法 。
规划 和 牛顿迭代法 各自 的 优点利弊， 大家 自己 去 琢磨 实践 吧， 哈哈 。
牛顿迭代法 对于 只有一个 解 的 情况， 应该 很麻利， 如果 方程组 有 多个解， 那 牛顿迭代法 可能只会 趋于 一个 解， 要想 解 出 多个 解， 大概 要 “规划” 一下 吧， 哈哈 。
15 楼 dons222 贴了 “用汉密尔顿四元数做三维空间旋转变换的讲解” 知乎 《如何形象地理解四元数？》 https://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127 ， 文中 讲到了 汉密尔顿 发明 四元数 的 故事 。
汉密尔顿 发明 四元数 的 故事 更多 的 是 趣味性 。 （笑）
数学 的 趣味性 比如 一个 数学对象 转换 为 另一个 数学对象， 两个 数学对象 之间 存在 巧妙 的 联系 。
这些 趣味性 能给人们 带来 美感， 但 不一定 能 提供 解题能力， 或称 计算能力 。
发明 四元数 ， 发明 五元数 …… 发明 直积 卷积 内积 外积 ， 这些 是 设计， 也是 系统设计， 数学 的 系统设计 。
这些 设计 可以 给 数学 增加 新花样 和 新玩法， 但是 不能 提供 新 的 解题能力， 或称 计算能力 ， 也可以说 不能 提供 更多 的 解题能力， 或称 计算能力， 也可以说 不能 提供 额外 的 解题能力， 或称 计算能力 。
为什么 新玩法 不能 提供 新的 能力 ？ 这 值得 深思， 里面 有 其 内在 原理 。 但 也要 慎用 这一原理， 因为 一不小心 会 矫枉过正， 搞得 大家 都 不敢 玩 花样 了 。
花样 还是 要的， 花样 多 才能 百花齐放， 才能 捡到 金子 。 （笑）
因此， 我们 还是 要 鼓励大家 玩 花样， 才能 千姿百态 。
两个 变量 的 关系 是 一个 二元方程组（两个方程）， 用 复数 的 玩法， 把 两个变量 表示为 复数 的 实部 和 虚部， 把 两个变量 的 二元方程组 表示 为 根 为 这个 复数 的 一个方程 。
那 这个 方程 要 如何 构造 ？ 是不是 需要 规划 ？ （嘻嘻嘻嘻，忍不住 偷笑） 而 如果 要用 牛顿迭代法 解 这个 方程 ， 是不是 还是要把 这个 方程 拆为 二元方程组（两个方程） ？ （忍不住 大笑）
所以啊， 如果 有 朋友 跟我说 ： “你来 玩一下 四元数 （五元数 、高阶复数） 怎么样 ？” 我一想， 看起来 挺好玩， 那些 数字 啊 、矩阵 啊， 倒过来 倒过去， 转过来 转过去， 可以去 算啊算啊 的 算出 各种 漂亮 的 酷酷 的 数学成果， 这么一想， 我都动心了， 好玩 是 好玩， 我又转念一想， 说 ： “比起 四元数， 我还是去搞 C 语言， 我和一些朋友 研究了一个 计算机语言 的 计划， 我要去 完成 这个计划， 先要从 C 语言 做起， 那些朋友 正 等着 我呢 ！”
或者， 比起 四元数， 用 Html + javascript 写一个 三维万向旋转定理 的 演示程序 还更 迫切些 。 （笑）
深蓝 下象棋 很厉害， AlphaGo 下围棋 很厉害， 它们 都是 人工智能 。 提起 人工智能， 出现很多 的 词 是 “卷积”， 好像 人工智能 和 卷积 密不可分， 有时候， 卷积 差不多 成了 人工智能 的 代名词 。
假以时日， 不久的 将来， 民间 的 开源爱好者 们 也会 写出 下象棋 和 下围棋 很厉害的 程序， 写 这些 程序 并不需要 高深的 数学， 倒是需要 一个 优秀的数据库， 用于 存储 棋谱， 存取 决策 需要 的 各种数据， 比如 路径数据 什么的 。
我 写过 一篇 《卷积 毫无意义》 https://tieba.baidu.com/p/6670161662 。
为了 探索放眼 和 解决 三维空间 的 问题， 解锁 更多 二维平面 上 的 奇妙性质， 可以 基于 直观 提出一些 曲线 和 曲面 相关 的 公设， 用 这些 公设 建立 一门 新 的 几何学 。
日益增长 的 应用需求 和 人们 对 科学 的 追求 也 促使 这么做 。
未完待续 。
四元数 是 一种 特定规则 的 矩阵，
双四元数 也是 一种 特定规则 的 矩阵，
对偶四元数 也是 一种 特定规则 的 矩阵，
矩阵 是 参数 的 排列 。
四元数 也可以说是 一种 数据结构， 用 四元数 的 方案 来 处理 3D （旋转）问题 就像 计算机程序 里 封装了 一些 数据结构， 这些 数据结构 可以拿来用 。
四元数 及其 方案 也 像是 封装好的 一组控件， 可以 拿来用 。
洛伦兹变换 的 因子 γ = 1 / 根号 ( 1 - v ² / c ² ) ， 因为 根号 ( 1 - v ² / c ² ) 满足 三角函数 关系， 所以 就 把 洛伦兹变换 表示为 坐标系旋转， 而 坐标系旋转 又可以 表示为 矩阵相乘， 矩阵 再加上 一些 规则 扩展一下 就成了 交换群 。 （笑）
四元数 也好， 双四元数 也好， 对偶四元数 也好， 就像是 软件开发 时 选择 一个 架构 ， 选择 一个 UI 框架， 选择 一款 数据库， 选择 一门 开发语言 。
我 的 “K 氏 算法” 也可以 整理成 一套 数学理论， 也可以 设计 出 数据结构， 也可以 封装 为 控件（组件） 。
K 氏算法 也可以 固化到 硬件里， 比如 GPU， 这样 就是 运用 K 氏算法 的 GPU， 或 内嵌了 K 氏算法 的 GPU 。
未完待续 。
//**** 草稿
一个有意思 的 问题 是， 这些 解 是不是 离散分布 的 ？
人工智能 规划 解题
证明 二维万向旋转定理
基于 直观 提出一些 和 曲线 有关 的 公设， 证明 四色定理 很容易 。
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