《数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数》 https://tieba.baidu.com/p/7647533106 。
9 楼
回复 4 楼 @dons222 ，
你一说， 我想起来了， 要 计算 旋转 *移 的 是 模型 上 很多的 点 ， 不是 一两个 点， 所以 大批量封送 到 GPU 计算 。 如此， 如果 是 有 加法 也有 乘法， 也许 加法 要 封送一次，乘法 要 封送一次， 加法 和 乘法 之间 交换数据 会 产生 一些 中间环节 。
我想 偏心旋转 仍然 是 2 次 旋转组成， 以 无限远 的 地方 为 原点 旋转一次， 以此 *移， 以 实际要旋转的 “支点” 为 原点 旋转一次， 以此 旋转 。
对于 以 无穷远 的 地方 为 原点 旋转坐标系 的 问题， 我 首先 想到的 是 精度， 即 计算机 的 运算精度， 比如 浮点数 的 精度 ， 即 有效数字位数 。
一直以来， 我一直 有一个 担心， 也 没 完全 搞清楚， 一些 缩放法， 是否 最终 都是 在 拼 精度 ？ 如果 计算机 的 精度 不够， 比如 浮点数 的 有效数字 不够， 则 缩放 也许 是 “缩前放后一个样” ， “竹篮打水一场空”， 收不到 实际 的 效益 ？
32 位 浮点数 的 有效数字 范围 大概 是 - 20 亿 ~ 20 亿 ， 64 位 是 - 400 亿亿 ~ 400 亿亿 ， 如果 把 “无穷远” 设为 400 亿亿， 那么， 旋转 产生 的 *似*移 的 距离 可以 精确到 1， 或者说 个位数， 两者 比值 是 400 亿亿 : 1 ， 好像 很 可观 。
但 到底 和 精度 有没有 关系 呢 ？ 我还是 没 搞清楚 。
第二， 理论上， 以 二维坐标系 为例， 设 物体 A 的 坐标 是 ( Xa, Ya ) ， Xa > 0 , Ya > 0 ， 物体 A 可以看作一个点 。 A 在 y 方向 上 离 原点 很远，即 Ya 很大 ， 在 x 方向 上 离 原点 很*， 即 Xa 很小， 坐标系 围绕 原点 旋转一个 很小 的 角度 θ， 旋转后 A 的 坐标 是 ( Xa ′, Ya ′ ) ， ⊿ x = Xa ′ - Xa ， ⊿ y = Ya ′ - Ya ， 要 满足 ⊿ x 远大于 ⊿ y， 才能 用 旋转 来 *似 *移 。
数学上， 可以表述为， Ya -> 无穷， θ 是 无穷小， 和 Ya 同阶， 试证明， ⊿ x 是 有 确定大小 的 值， ⊿ y 是 无穷小 。
也可以 等价 的 表述 为， Ya 是 有确定大小 的 值， θ -> 0 ， 试证明， ⊿ x 是 无穷小， ⊿ y 是 高阶无穷小 。
二维坐标系 旋转 公式 主要 是 和角公式， 三维坐标系 旋转 可以由 三次 二维坐标系 旋转 合成 。
可以看到一个问题， 无论 二维 还是 三维， 都 需要 在 一个 坐标轴 方向 上 物体 离 原点 很远， 才能 用 旋转 *似 另一个（其它） 坐标轴 上 的 坐标*移 。
物体 离 原点 很远 的 这个 方向 的 坐标轴 的 坐标 *移 不能 通过 旋转 *似 。
比如， x - y - z 坐标系， 让 物体 在 z 轴 方向上 离 原点 很远， 则 可以用 旋转 来 *似 物体 在 x 轴方向 、y 轴方向 上 的 *移， 但 不能用 旋转 来 *似 物体 在 z 轴方向 上 的 *移 。
也就是， 我们 正对 物体， 物体 离 我们 很远， 可以让 我们 或 物体 旋转 来 *似 物体 相对于 我们 的 左右移动 上下移动， 但是 不能 用 旋转 来 *似 物体 朝 我们 靠* 或 远离 的 移动 。
这里 涉及 的 证明 大家 都会， 但 我还是 写一下， 后面连载 。 （不一定 天天连载， 可能 隔几天 连载一次）
10 楼
接 9 楼 。 @dons222
用 一次 旋转 来 实现 *移 + 旋转 是可以的，只要 选择 合适 的 支点 就行 。
未完待续 。
11 楼
接 10 楼 。
9 楼 的 要 证明 的 数学题目， 简单的， 可以这样来证 ：
⊿ x = BH， ⊿ y = AH， 证明 θ -> 0 时， BH 是 无穷小， AH 是 高阶无穷小 。
实际上 就是 证明 θ -> 0 时， sin θ 是 无穷小， 1 - cos θ 是 高阶无穷小 ， 或者说， 求 ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 的 极限， 哈哈 。
当 θ -> 0 时， 1 - cos θ -> 0 ， sin θ -> 0 ， 用 洛必达法则
( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0
= ( 1 - cos θ ) ′ / ( sin θ ) ′
= sin θ / cos θ
= sin 0 / cos 0
= 0 / 1
= 0
即 ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 的 极限 是 0， ( 1 - cos θ ) / sin θ , θ -> 0 是 无穷小， 所以 1 - cos θ 是 sin θ 的 高阶无穷小 。
那 1 - cos θ 比 sin θ 高了 几阶 呢 ？ 可以这样看 ：
( 1 - cos θ ) / θ ² , θ -> 0
过程略
= 1/2
所以 θ -> 0 时， 1 - cos θ 和 θ ² 是 同阶无穷小， 而 θ ² 比 θ 高了一阶， 所以 1 - cos θ 比 θ 高了一阶， 又 θ 和 sin θ 是 等价无穷小， 所以 1 - cos θ 比 sin θ 高了一阶 。
严格一点， A 点 不一定 在 y 轴 上， 这要用 和角公式 证， 后面连载 。
刚在 10 楼 的 回复 中 和 dons222 讨论， 现在 的 需求 看起来是， 在 三维 下 要 求出 一次 旋转 等价于 *移 + 旋转 的 支点 和 围绕 3 个 坐标轴 旋转 的 角度 。
在 模型 上 找一点 A， 坐标为 ( Xa, Ya, Za ) ， 计算 A 点 *移 + 旋转 后 的 的 坐标 ( Xa ′, Ya ′, Za ′ ) ，
设 坐标系旋转公式 为
x ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, x )
y ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, y )
z ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, z )
x, y, z 为 某点 旋转前 的 坐标， x ′, y ′, z ′ 为 旋转后 的 坐标， X支, Y支, Z支 为 支点坐标 ， θx, θy, θz 为 围绕 x, y, z 坐标轴 旋转 的 角度 。
这样， 可以 列 一个 方程组 ：
Xa ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Xa )
Ya ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Ya )
Za ′ = f ( X支, Y支, Z支, θx, θy, θz, Za )
Xa, Ya, Za ， Xa ′, Ya ′, Za ′ 是 已知数， X支, Y支, Z支, θx, θy, θz 是 未知数 。
有 6 个 未知数， 因此 还要 再找一点 B ( Xb, Yb, Zb ) ， 同样 计算出 *移 + 旋转 后 的 坐标 ( Xb ′, Yb ′, Zb ′ ) ， 再列 3 个 方程， 这样 就 是 6 个 方程， 组成了 6 元方程组，
解这个 方程组， 可以 求得 支点 ( X支, Y支, Z支 ) 和 旋转角度 θx, θy, θz 。
以 ( X支, Y支, Z支 ) 为 支点 旋转 θx, θy, θz ， 这样一次 旋转 的 效果 等价于 *移 + 旋转 。
14 楼
dons222 思维机器， 看了 11 楼 13 楼 的 回复， 对 你们 的 架构 就 比较清楚了 。 大概 是 这样， 有一个 全局坐标系 O， 在 O 里 有一个 固定 位置 和 角度 的 镜头， 要 从 不同 位置 和 姿态（角度） 观察 物体 时， 可以先在 O 系 里 *移物体， 再 选取一个 新的 坐标系 O ′ ， 以 O ′ 为 支点 旋转 物体， 然后 再由 O 系 里 的 镜头 观察 ， 观察 指 透视成像 。
O 系 的 *移 和 O ′ 系 的 旋转 可以让 物体 相对于 镜头 处于 任何 位置 和 姿态（角度） 。
现在 dons222 的 需求 是 把 O 系 的 *移 省掉， 用 O ′ 的 一次旋转 就 可以起到 O 系 *移 和 O ′ 系 旋转 的 效果 。
其实 可以有 2 种 架构，
1 移动镜头， *移 和 旋转 镜头 使之 在 需要 的 位置 和 角度 对着 物体， 这个 方法 的 优点 是 不需要 物体 的 大量点 计算 *移， 也 不需要 物体 的 大量点 的 O 系 和 O ′ 系 之间 的 坐标变换 。 只需要 计算 镜头 的 *移 和 旋转， 这只 需要 计算 几个点 。 镜头 对好 物体 后， 直接 透视成像 就可以 ， 透视成像 使用 O 系 坐标 。
2 固定镜头， 对 物体 *移 和 选取 O ′ 让 物体 旋转 使 物体 移动 到 指定 的 位置 和 旋转 到 指定 姿态（角度）， 然后 由 固定镜头 透视成像 。 这个 方法 需要 做 物体 的 大量点 在 O 系 里 的 *移计算， 然后 还要 把 物体 的 大量点 的 O 系 坐标 转换成 O ′ 系 的， 然后 在 O ′ 里 旋转 物体， 这需要 计算 物体 大量点 的 旋转， 再 把 旋转后 的 物体 大量点 的 O ′ 系 坐标 转换回 O 系 坐标， 然后 由 O 系 的 固定镜头 透视成像 。
方法 1 只能 用于 整个场景（所有 物体） 的 位置 和 角度 一起改变 的 场合， 方法 2 可以用于 分别 对 一些 物体 移动 和 旋转 不同的 位置 和 姿态（角度） ， 再 一起 观察（透视成像） 的 场合 。
接下来 分析 二维 和 三维 上 能不能 通过 一次旋转 实现（等价） *移 + 旋转 。
先看 二维， 目前 的 结论 是 可以 ， 但 具体 的 证明 没有写， 可以来看 一个 例子 ：
AB 先 *移， 再旋转， 到 A ′ B ′ 的 位置 。 A ′ 在 AB 的 延长线 上， AB 和 A ′ B ′ 垂直 。 能不能 找到 一个 支点 O2 ， 让 AB 围绕 O2 旋转， 一次 旋转 就可以 让 AB 旋转到 A ′ B ′ ， 和 A ′ B ′ 重合 ？
乍一看， 好像 不行， 找不到 合适 的 支点 O2， 但 实际上 是 可以的 。
再来 看 三维， 目前 的 结论 是 不行， 可以这样 证明 ：
一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 组成， 在 三维空间 里 取 一段 线段 AB， 再在 另一个 地方 取 同样 长度 的 一段 线段 A ′ B ′ ， 假设 一次 三维旋转 可以 让 AB 旋转 到 A ′ B ′ 处 并 和 A ′ B ′ 重合， A 和 A ′ 重合， B 和 B ′ 重合， 这 需要 3 次 二维旋转， 也可能 只要 2 次 或 1 次， 不管怎样， 最后一次， 必然 是 一个 二维*面 上 让 AB 和 A ′ B ′ 旋转重合 。
比如， 最后一次旋转 是 围绕 z 轴 旋转， 在 x - y *面 或 *行于 x - y *面 的 *面 上 旋转， 这个 *面 记为 P， z 轴 和 P 的 交点 记为 Op， 根据 上文 讨论 的 二维 上 一次旋转 实现（等价） *移 + 旋转 的 原理， P 上 的 AB 和 A ′ B ′ 要 旋转重合， 要 选择一个 正确的 支点 O2， 而 这个 O2 很可能 并不和 Op 重合， 如此， 围绕 O2 的 旋转 就不是 围绕 z 轴 的 旋转， 也就是 围绕 O2 旋转 使 AB 和 A ′ B ′ 重合， 但 围绕 O2 旋转 不是 围绕 z 轴 旋转 。
所以 一次 三维旋转 不能 实现 （等价） *移 + 旋转 。
还需要 补充 一点， 三维旋转 的 3 次 二维旋转 可以 有 6 种 旋转顺序， 比如 先围绕 x 轴 旋转， 再围绕 y 轴旋转， 再围绕 z 轴旋转， 记为 x -> y -> z， 还有 x -> z -> y , y -> x -> z , y -> z -> x , z -> x -> y , z -> y -> x 。 不同 的 顺序 旋转的 结果 （AB 的 位置 和 姿态 ( 角度 ) ） 是 不一样 的 。
但 总可以举出例子 （AB 和 A ′ B ′ ）， 使得 无论 以 何种 顺序 旋转， 最后 一次 二维旋转 都会 出现 上述 的 O2 不和 Op 重合 的 情况 。
以上 证明 一次 三维旋转 不能 实现 （等价） *移 + 旋转 。
这次 写 的 时间长 是 想的多， 一些 中间过程 也 推翻重来， 没有 写出来 。
16 楼
之前 认为 三维 里 *移 + 旋转 不能 用 一次旋转 来 实现（等价） 的 结论 是 错误的， 我刚 想到了一个 方法 ， 用 2 个 二维旋转 就可以 实现 线段 AB 任意 的 位置姿态 变成 另一个 位置姿态 。 这个 方法 的 解 至少 有 2个， 可能 还有 若干个 。 这个 方法 跟 你说的 固定一个点 比如 B 在 一个 轴 上， 围绕 轴 旋转 的 方法 差不多 。
除了 上述方法， 因为 O ′ 可以是 任意的， 任意 的 O ′ 可能 还会产生 无数个 解 。
17 楼
三维旋转 的 讨论内容 后续 请看 《三维坐标系由一次转动代替“*动+转动”是否能得到数学证明?》 https://tieba.baidu.com/p/7656957355 。
20 楼
fjg5610 ：
模糊集不是数学问题？开创了人脑辩证思维的形式化方法。
K歌之王 :模糊集 是 模糊数学 吗 ？ 30 年前 就说 神经网络 和 模糊数学 是 人工智能 的 两个方向， 如今是 被 神经网络（卷积） 一统天下 了 ？ 不过 未来 白盒人工智能 里 模糊数学 应该 会 起作用 的 。
K歌之王 :模糊数学 也只是 发明了一些 形式 吧 ？ 发明了 一种 数学语言 。 我想 用 计算机语言 的 if else 也能 表达 吧 ？ 说白一点， 用 人类语言 大白话 也能表达（更能表达） 。