又 看到 数学吧 的 两题 。
《孩子又来提问了 求助各位大神》 https://tieba.baidu.com/p/7603489362
第 1 题
第 2 题
为什么 要说 “又” 呢 ？ 因为 这 两题 是 已封12138 发的， 前几天 刚 看到 他 发 的 一题 ， 见 《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15497036.html ， 呵呵 。
做 一下 第 1 题 的 (1) 小题 ， 但 题目 似乎有点 问题 。
n ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx 里 有 2 个 变量， n 和 x ， 但 n 、x 之间没有关系， 可以 固定 一个 ， 让 另一个 变化， 这 类似 偏导数 和 重积分， 这也是 “多元 微积分” 吧 ！
n ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= ʃ n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx
先求 n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 的 极限 ， n 是 变量， x 是 常量 ， x ∈ [ 0, 1 ] 。
当 x = 0 时， n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 = 0
当 x = 1 时， n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 = n -> 无穷
当 x ∈ ( 0, 1 ) 时， 可以证明 n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 的 极限 是 0 ， 哈哈哈， 证明过程嘛， 就不告诉你， 就不告诉你， 就不告诉你 。
即 当 x ∈ ( 0, 1 ) 时， lim n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 = 0
即 当 x ∈ ( 0, 1 ) ， n -> 无穷 时， n x ^ ( n - 1 ) 是 无穷小，
这样， 在 x ∈ ( 0, 1 ) 里， n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) = 无穷小 * f ( x ) ，
而 无穷小 * f ( x ) 是 不定式， 如果 不知道 n x ^ ( n - 1 ) 和 f ( x ) 之间 是否是 同阶无穷大（无穷小） 、高阶无穷大（无穷小） 的 关系 的 话， n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) 是 不定式， 是 无法 计算 ʃ n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] 这个 定积分 的 。
但 继续想一下， y = n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 是 可以计算 积分 的 。 具体的说， 虽然 在 x ∈ ( 0, 1 ) 里， n -> 无穷 时， n x ^ ( n - 1 ) 是 无穷小， 但 y = n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 不是 无穷小， 而是 一个 确定大小 的 值， 这个 值 是 1 。
ʃ n x ^ ( n - 1 ) dx = x ^ n
[ 0, 1 ] 上 的 定积分 ʃ n x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 1 ^ n - 0 ^ n = 1
同样， 可以 证明， 当 n -> 无穷 时， 在 x ∈ ( 0, 1 ) 里， n ² x ^ ( n - 1 ) -> 0， 也就是 n ² x ^ ( n - 1 ) 在 x ∈ ( 0, 1 ) 里 也是 无穷小， 但 是 y = n ² x ^ ( n - 1 ) 也是 可以 计算 积分 的 。
ʃ n ² x ^ ( n - 1 ) dx = n x ^ n
[ 0, 1 ] 上 的 定积分 ʃ n ² x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = n * 1 ^ n - n * 0 ^ n = n = 无穷
y = x ^ ( n - 1 ) 也 可以 计算 积分，
ʃ x ^ ( n - 1 ) dx = 1 / n * x ^ n
[ 0, 1 ] 上 的 定积分 ʃ x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 1 / n * 1 ^ n - 1 / n * 0 ^ n = 1 / n = 无穷小
既然 n x ^ ( n - 1 ) 可以计算 定积分， 那 n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) 说不定 也能 呢 。
换种做法， 用 分部积分法 来 做，
ʃ n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx
= ʃ ( x ^ n ) ′ f ( x ) dx
= x ^ n f ( x ) - ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx (1) 式
刚刚 在 上文 我们计算了 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 ， 也可以说 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ n dx , [ 0, 1 ] = 无穷小，
由此， 可以认为， 若 f ′ ( x ) 和 n 无关 （ f ′ ( x ) 里 没有 n ） ， 则， 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 ， （滑稽）
ʃ n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= 1 ^ n f ( 1 ) - [ ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , x = 1 ] - 0 ^ n f ( 0 ) + [ ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , x = 0 ]
= 1 * f ( 1 ) - 0 * f ( 0 ) - { [ ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , x = 1 ] - [ ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , x = 0 ] }
= f ( 1 ) - 0 - ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= f ( 1 ) - ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= f ( 1 ) - 无穷小
= f ( 1 ) - 0
= f ( 1 ) (2) 式
即 n ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] , n -> 无穷 = f ( 1 )
这就 证明了 第 (1) 小题 。
第 (2) 小题
n ² ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx
= n ʃ n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx
= n ʃ ( x ^ n ) ′ f ( x ) dx
= n [ x ^ n f ( x ) - ʃ x ^ n f ′ ( x ) dx ]
= n [ x ^ n f ( x ) - 1 / ( n + 1 ) x ^ ( n + 1 ) f ′ ( x ) + ʃ 1 / ( n + 1 ) x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx ]
= n x ^ n f ( x ) - n / ( n + 1 ) x ^ ( n + 1 ) f ′ ( x ) + ʃ n / ( n + 1 ) x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx
因为 n -> 无穷， n 和 n + 1 等价，可以约掉
= n x ^ n f ( x ) - x ^ ( n + 1 ) f ′ ( x ) + ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx
和 (1) 小题 同理， 上文 我们计算了 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 ， 也可以说 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n + 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小，
由此， 可以认为， 若 f ′ ′ ( x ) 和 n 无关 （ f ′ ′ ( x ) 里 没有 n ） ， 则， 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 ， （滑稽）
n ² ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= n 1 ^ n f ( 1 ) - 1 ^ ( n + 1 ) f ′ ( 1 ) + [ ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , x = 1 ] - n 0 ^ n f ( 0 ) + 0 ^ ( n + 1 ) f ′ ( 0 ) - [ ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , x = 0 ]
= n 1 ^ n f ( 1 ) - 1 ^ ( n + 1 ) f ′ ( 1 ) - n 0 ^ n f ( 0 ) + 0 ^ ( n + 1 ) f ′ ( 0 ) + [ ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , x = 1 ] - [ ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , x = 0 ]
= n f ( 1 ) - f ′ ( 1 ) - 0 + 0 + ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= n f ( 1 ) - f ′ ( 1 ) + ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= n f ( 1 ) - f ′ ( 1 ) + 无穷小
= n f ( 1 ) - f ′ ( 1 ) + 0
= n f ( 1 ) - f ′ ( 1 )
因为 f ( 1 ) = 0
= n * 0 - f ′ ( 1 )
= 0 - f ′ ( 1 )
= - f ′ ( 1 )
即 n ² ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] , n -> 无穷 = - f ′ ( 1 )
这就 证明了 第 (2) 小题 。
虽然 证明了 题目， 但也 遗留了 不少问题 待 推敲， 刚 我们 说
因为 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n + 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小， 所以 当 n -> 无穷 时， ʃ x ^ ( n + 1 ) f ′ ′ ( x ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 ， 这里 的 f ′ ′ ( x ) 可以是 任意 的 f ( x ) ， 即 对于 任意 的 f ( x ) ， ʃ x ^ ( n + 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷小 。
既然如此， 那 上文 也 计算了 当 n -> 无穷 时， ʃ n ² x ^ ( n - 1 ) dx , [ 0, 1 ] = 无穷， 按理， n ² ʃ x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] 也就是 ʃ n ² x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] 也应该是 无穷 吧 ？
但 这里 证明 的 结论 是 ʃ n ² x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx , [ 0, 1 ] = - f ′ ( 1 ) ， 当然 有一个 条件是 f ( 1 ) = 0 。
结论 耐人寻味 。 这里面 埋藏了 无穷 和 极限 的 奥秘， 无穷大 、无穷小 、0 的 关系 和 定义， 多元微积分（多变量微积分） 的 运算法则 定义 。
第 2 题
一开始 用
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx = ʃ f ′ ( x ) d [ f ( x ) ]
分部积分法
{ [ f ( x ) ] ² } ′ = 2 f ( x ) f ′ ( x )
{ [ f ′ ( x ) ] ² } ′ = 2 f ′ ( x ) f ′ ′ ( x )
来 推导 ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx ， 搞了半天， 没搞出来 。
后来 换个 方向， 从 f ( x ) = A ( x - x ³ ) 出发 ，
设 f ( x ) = A ( x - x ³ )
ʃ x f ( x ) dx
= ʃ x * A ( x - x ³ ) dx
= ʃ A ( x ² - x ⁴ ) dx
= A ( 1/3 x ³ - 1/5 x ⁵ )
ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= A ( 1/3 * 1 ³ - 1/5 * 1 ⁵ ) - A ( 1/3 * 0 ³ - 1/5 * 0 ⁵ )
= A ( 1/3 - 1/5 ) - 0
= A * 2 / 15
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ²
= ( A * 2 / 15 ) ²
= A ² * 4 / 225
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx
= ʃ { [ A ( x - x ³ ) ] ′ } ² dx
= ʃ [ A ( 1 - 3 x ² ) ] ² dx
= ʃ A ² ( 1 - 3 x ² ) ² dx
= ʃ A ² ( 1 - 6 x ² + 9 x ⁴ ) dx
= A ² ( x - 6 * 1/3 x ³ + 9 * 1/5 x ⁵ )
= A ² ( x - 2 x ³ + 9/5 x ⁵ )
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= A ² ( 1 - 2 * 1 ³ + 9/5 * 1 ⁵ ) - A ² ( 0 - 2 * 0 ³ + 9/5 * 0 ⁵ )
= A ² ( 1 - 2 + 9/5 ) - 0
= A ² * 4 / 5
因为 A ² * 4 / 5 * 1 / 45 = A ² * 4 / 225
所以 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² = ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
这样 就 证明了 当 f ( x ) = A ( x - x ³ ) 时， 题目 的 不等式 的 等号 成立 。
接下来看 f ( x ) 不是 A ( x - x ³ ) 的 情况，
设 f ( x ) = A ( x - x ³ ) + g ( x ) ， g ( x ) 是 不恒等于 0 的 任意函数， 在 [ 0, 1 ] 上 连续可导 。
将 f ( x ) 代入 求 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 和 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 。
做了一下， 推导过程 有点 繁琐， 大概 推导出 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 和 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] ，
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 和 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 的 第一项 都是 A ² * 4 / 225， 将 这一项 排除后， 只要 证明 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 剩下的 其它项 小于 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 剩下 的 其它项 就可以了 。
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 剩下 的 项 里 包含 A 、G ( 1 ) 、ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] 。
A 在 G ( 1 ) 、ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] 的 系数 里， G ( x ) 是 g ( x ) 的 原函数， 即 G ( x ) = ʃ g ( x ) dx ， G ( 1 ) 是 G ( x ) 在 x = 1 处 的 值， ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] 是 G ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 。
1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 剩下 的 项 里 包含 A 、 g ( 1 ) 、g ( 0 ) 、G ( 1 ) 、 ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] 、 ʃ [ g ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
A 在 g ( 1 ) 、g ( 0 ) 、G ( 1 ) 、 ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] 的 系数 里 。
从 这个结果 看来， { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² < 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 似乎不一定成立， 对于 任意 的 不恒为 0 的 g ( x ) ， 可以产生出 各种各样 的 情况， 大于 小于 好像 都 可能 。
但 因为 推导过程 有点繁琐， 也就 容易出错， 而 只要有 任何一点错， 结论 也会 是 错误 的， 因此 也 没有 彻底 的 对 这个 结果 分析， 只是 大概分析 了一下 。
后来 还 试了 f ( x ) = x + g ( x ) 。
将 f ( x ) = x + g ( x ) 代入 计算 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 和 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] ，
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² 的 结果 里 有 常数项 、G ( 1 ) 、 ʃ G ( x ) dx , [ 0, 1 ] ，
1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 的 结果 里 有 常数项 1 、 g ( 1 ) - g ( 0 ) 、 ʃ [ g ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 。
这个 推导 也是 草稿， 也可能 有 有错误 。 可以看到 这样 项 也不是很理想， 结果 里 仍然 有 ʃ [ g ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 项， 也就是 还是没有 把 平方 从 定积分 里 拿出来 。
虽然 没有 把 平方 从 定积分 里 拿出来， 但 还是 可以 对 这些 结果 进行 分析 看 是否 满足 左式 < 右式， 大致 的 分析 看起来， 对于 任意 的 不恒为 0 的 g ( x ) ， 看起来 还是 可能 产生 各种各样 的 情况， 左式 < 右式 和 左式 > 右式 都 可能 。
其实 可以 问 一个问题， 用 微分方程 （积分方程） 的 技术， 能不能 解 { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² = 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ] 这个 “定积分方程” 得出 “唯一的 解 ” f ( x ) = A ( x - x ³ ) ？
最后发现， 这个 题目 不成立 。 比如， f ( x ) = x
ʃ x f ( x ) dx
= ʃ x * x dx
= ʃ x ² dx
= 1/3 x ³
ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= 1/3 * 1 ³ - 1/3 * 0 ³
= 1/3 - 0
= 1/3
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ²
= 1/3 ²
= 1/9
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx
= ʃ ( x ′ ) ² dx
= ʃ 1 ² dx
= ʃ 1 dx
= x
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 1 - 0
= 1
1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 1/45 * 1
= 1/45
1/9 <= 1/45 不成立 。
比如， f ( x ) = x ²
ʃ x f ( x ) dx
= ʃ x * x ² dx
= ʃ x ³ dx
= 1/4 x ⁴
ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= 1/4 * 1 ⁴ - 1/4 * 0 ⁴
= 1/4 - 0
= 1/4
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ²
= 1/4 ²
= 1/16
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx
= ʃ [ ( x ² ) ′ ] ² dx
= ʃ ( 2 x ) ² dx
= ʃ 4 x ² dx
= 4/3 x ³
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 4/3 * 1 ³ - 4/3 * 0 ³
= 4/3
1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 1/45 * 4/3
= 4/135
1/16 <= 4/135 不成立 。
会不会 题目 不小心 把 不等号 写反了 ？ 把 不等号 反过来， 把 <= 改成 >= ， 会不会 题目 就 成立 了 ？
比如， 把 题目 改成， { ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ² >= 1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
也不成立， 比如 f ( x ) = x ⁵
ʃ x f ( x ) dx
= ʃ x * x ⁵ dx
= ʃ x ⁶ dx
= 1/7 x ⁷
ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]
= 1/7 * 1 ⁷ - 1/7 * 0 ⁷
= 1/7 - 0
= 1/7
{ ʃ x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ²
= 1/7 ²
= 1/49
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx
= ʃ [ ( x ⁵ ) ′ ] ² dx
= ʃ ( 4 x ⁴ ) ² dx
= ʃ 16 x ⁸ dx
= 16/9 x ⁹
ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 16/9 * 1 ⁹ - 16/9 * 0 ⁹
= 16/9
1 / 45 * ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx , [ 0, 1 ]
= 1/45 * 16/9
= 16 / 405
1/49 >= 16 / 405 不成立 。
要不就是 ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx 的 ′ 和 ² 写反了 ？ 把 平方 写进去， 求导数 写出来， 也就是 ʃ [ f ′ ( x ) ] ² dx 改成 ʃ { [ f ( x ) ] ² } ′ dx ， 如何 ？
改成 这样 也 不行， 题目 也 不成立 ， 而且 ， 这 和 1 / 45 还是 没有 一毛钱 关系 啊 ？