网友 雨萌1_ 在 民科吧 发了一个 帖 《求助吧友数学分析》 https://tieba.baidu.com/p/7565736922 。
第 1 题， 用 百度翻译 得到 的 题意 是 “找到函数的极值” 。
根据 二元函数极值定理， x , y 满足这个方程组时， z 是 极值点 或 驻点 ：
∂ z / ∂ x = 0
∂ z / ∂ y = 0
以上 是 方程组 。
z = x y ( 12 - x - y )
= 12 x y - x ² y - x y ²
∂ z / ∂ x
= ∂ ( 12 x y - x ² y - x y ² ) / ∂ x
= 12 y - 2 x y - y ²
∂ z / ∂ y
= ∂ ( 12 x y - x ² y - x y ² ) / ∂ y
= 12 x - x ² - 2 x y
可得 方程组
12 y - 2 x y - y ² = 0
12 x - x ² - 2 x y = 0
解 方程组
y ( 12 - 2 x - y ) = 0
x ( 12 - x - 2y ) = 0
可以得 第 1 组解， 记为 解 1 ：
x = 0
y = 0
第 2 组 解， 记为 解 2， 由 下面的 方程组 解 出，
x = 0
12 - 2 x - y = 0
解
12 - y = 0
y = 12
即 解 2 为
x = 0
y = 12
第 3 组 解， 记为 解 3， 由 下面的 方程组 解 出，
y = 0
12 - x - 2y = 0
解
12 - x = 0
x = 12
即 解 3 为
x = 12
y = 0
第 4 组 解， 记为 解 4， 由 下面的 方程组 解 出，
12 - 2 x - y = 0
12 - x - 2y = 0
解
24 - 4 x - 2y = 0
12 - x - 2y = 0
两式相减，
12 - 3 x = 0
x = 4
y = 4
即 解 4 为
x = 4
y = 4
所以， 当 x , y 取 解 1 、解 2 、解 3 、解 4 时， z 是 极值点 或 驻点 。
进一步， 要 区分 极值点 和 驻点， 要 看 二阶偏导数 ， 这部分不看了， 大家 自己 看吧 。
大概 目测 一下， 应该 x = 0 或 y = 0 的 都是 驻点， 也就是， 解 1 解 2 解 3 都是 驻点， 只有 解 4 是 极值点， 也就是， x = 4 , y = 4 是 极值点 。