网友 上官苏 （wwjjqq945） 在 民科吧 帖 《上宫苏睁着眼讲瞎话！你是中国人吗？是就用汉语把你的“数论题"翻译出来！》 https://tieba.baidu.com/p/7525351769 的 2 楼 发了 一道 简单 的 数论题， 如下 ：
因为 a 、b 是 正整数， 看得出来， 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] < 1 。
设 n = 1 / 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] = 根号 [ ( 2a + b ) / ( 2a - b ) ] ，
即 n = 根号 [ ( 2a + b ) / ( 2a - b ) ] (1) 式
要 让 p 为 素数， 则 b 应满足 b = 4 * p * n， p 为 素数 。
因为 b 是 正整数， b = 4 * p * n ， 所以 n 也是 正整数 。
把 (1) 式 变形一下，
n ² = ( 2a + b ) / ( 2a - b )
n ² ( 2a - b ) = 2a + b
把 b = 4 * p * n 代进来，
n ² ( 2a - 4pn ) = 2a + 4pn
2 n ² a - 4 n ³ p = 2a + 4pn
2 n ² a - 2a = 4 n ³ p + 4pn
2a ( n ² - 1 ) = 4p ( n ³ + n )
a = 2 p ( n ³ + n ) / ( n ² - 1 ) (2) 式
从 (2) 式 可以看出， 若 存在 至少一个 正整数 n ， 使得 a 为 正整数， 则 可以让 题目原式 b / 4 * 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] 的 值 为 p ， 即 满足 题目原式 p = b / 4 * 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] 。
所以 现在 问题 的 关键 就是 求证 2 p ( n ³ + n ) / ( n ² - 1 ) 能不能 是 整数， 先 对 分子 因式分解 一下，
2 p ( n ³ + n ) / ( n ² - 1 )
= 2 p * n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 )
先看 n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) ，
先看 n / ( n ² - 1 ) ， n / ( n ² - 1 ) = n / [ ( n + 1) ( n - 1 ) ] ， 看得出来， n / ( n + 1 ) 不会 约掉 任何一个 质因数， n / ( n - 1 ) 也不会 约掉 任何一个 质因数， 也就是， n / ( n ² - 1 ) 不会 约掉 任何一个 质因数 。
n 和 n + 1 没有 相同 的 质因数， 这应该是一个 定理， 应该很容易证明 。
把 这个 定理 推广一下， n 和 n + m 没有 大于 m 的 相同 的 质因数 。
再看 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) ， n ² + 1 和 n ² - 1 相差 2， 根据 上面 的 定理， n ² + 1 和 n ² - 1 没有 大于 2 的 相同的 质因数， 也就是 两者 相同 的 质因数 最多 是 2， 这 出现在 两者 是 偶数 的 时候， 此时 可以 约掉 2 。
当 n = 1 时， n ² - 1 = 0， 分母为 0， 无意义， n = 2 时， n ² - 1 = 3， 3 是 奇数，没有 质因数 2 ， 当 n = 3 时， n ² - 1 = 8， 约掉 2， 8 / 2 = 4， 还剩 4，
于是， n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 顶多 约掉 一个 2， 约掉 后 分母 不为 1， 且 分子分母 不会再 约掉 质因数 。
这样的话， 要让 2 p * n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 是 整数， 要 考虑 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 是否 约掉 2 的 两种情况 。
若 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 没有 约掉 2， 则 要让 2 p * n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 是 整数， 需要 2 p 把 分母 ( n ² - 1 ) 约掉 ，
若 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 约掉 了 2， 则 分母 剩下 1/2 * ( n ² - 1 ) ， 要让 2 p * n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 是 整数， 需要 2 p 把 1/2 * ( n ² - 1 ) 约掉 。
我们 来 看 这两种 情况 。
第一种 情况， 若 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 没有 约掉 2， 需要 让 2 p 把 分母 ( n ² - 1 ) 约掉，
因为 2 和 p 都是 质数， 分母 ( n ² - 1 ) 可以 因式分解 为 ( n + 1 ) ( n - 1 ) ， 所以， 把 分母 ( n ² - 1 ) 完全约掉 ， 就是
2 = n + 1 , p = n - 1 条件 1
或
2 = n - 1 , p = n + 1 条件 2
先看 条件 1， 2 = n + 1 ， n = 1， 代入 p = n - 1 ， p = n - 1 = 1 - 1 = 0， 0 不是 素数， p = 0 不符合题意， 且 n = 1 会让 n ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 分母 为 0， 无意义， 也不符合题意 ， 故 条件 1 不符合题意 。
再看 条件 2， 2 = n - 1 ， n = 3 ， 代入 p = n + 1 ， p = n + 1 = 3 + 1 = 4 ， 4 不是 素数， p = 4 不符合题意， 故 条件 2 不符合题意 。
第二种情况， 若 ( n ² + 1 ) / ( n ² - 1 ) 约掉 了 2 ， 需要 2 p 把 1/2 * ( n ² - 1 ) 约掉 ， 也就是 2 * 2 * p 把 ( n ² - 1 ) 约掉， 因式分解一下， 就是 2 * 2 * p 把 ( n + 1) ( n - 1 ) 约掉， 就是
2 = n + 1 , 2 = n - 1
或
2 = n + 1 , p = n - 1
或
2 = n - 1 , p = n + 1
或
2 * 2 = n + 1 , p = n - 1
或
2 * 2 = n - 1 , p = n + 1
或
2 * p = n + 1, 2 = n - 1
或
2 * p = n - 1 , 2 = n + 1
上面这些条件 只有 2 * 2 = n + 1 , p = n - 1 和 2 * p = n + 1, 2 = n - 1 成立， 它们 的 解 都是 p = 2, n = 3 ， 此时， 2 * 2 * p = 2 * 2 * 2 = 8 把 n ² - 1 = 3 ² - 1 = 9 - 1 = 8 约掉 。
此时， a = 15, b = 4 * p * n = 4 * 2 * 3 = 24, 代入 题目原式
p = b / 4 * 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ]
= 24 / 4 * 根号 [ ( 2 * 15 - 24 ) / ( 2 * 15 + 24 ) ]
= 6 * 根号 ( 6 / 54 )
= 6 * 根号 ( 1 / 9 )
= 6 * 1/3
= 2
上面 的 第一种情况 和 第二种情况 的 分析 都是 把 分母 ( n + 1 ) ( n - 1 ) 看作 2 个 因数， ( n + 1 ) 是 一个 因数， ( n - 1 ) 是一个 因数， 其实 还有一个 特例， 就是 n - 1 = 1 的 时候， 分母 只剩下 n + 1 这一个 因数， 我们再来看看 这种情况 。
当 n = 2 时， 分母 ( n + 1 ) ( n - 1 ) = ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) = 3 * 1 = 3， 其中 ( n - 1 ) = 1， 于是 分母 只剩 一个 因数 ( n + 1 ) = 3 ， 分母 3 是 奇数， 不存在 和 分子 约掉 2 的 情况， 这样， 就 需要 2 p 把 3 约掉 ， 显然， 2 不能 把 3 约掉， 只能 让 p = 3， 把 3 约掉， 3 刚好是 素数，
a = 2 p ( n ³ + n ) / ( n ² - 1 )
= 2 * 3 ( 2 ³ + 2 ) / ( 2 ² - 1 )
= 2 * 3 * 10 / 3
= 20
a 为 整数， 满足要求， p = 3， 3 刚好 是 素数， 也满足要求， 因此 这种情况 是 满足题目要求 的 。
来 验算一下 ，
b = 4 * p * n = 4 * 3 * 2 = 24 ，
将 a = 20, b = 24 代入 题目原式
p = b / 4 * 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ]
= 24 / 4 * 根号 [ ( 2 * 20 - 24 ) / ( 2 * 20 + 24 ) ]
= 6 * 根号 [ ( 40 - 24 ) / ( 40 + 24 ) ]
= 6 * 根号 ( 16 / 64 )
= 6 * 根号 ( 1 / 4 )
= 6 * 1/2
= 3
p = 3 ， p 是 素数， 满足题目要求 。
综上， p 是 素数 的 结果 有 2 个 ：
a = 15, b = 24, p = 2, n = 3
a = 20 , b = 24 , p = 3 , n = 2
p = 2 或 p = 3 ， 本题答案是， p 最大 为 3 。
上文 两次 提到 n = 1 时， n ² - 1 = 0 ， 分母 为 0 ， 无意义 。 其实 分母 为 0 也不一定 无意义， 比如， 可以让 分子 也为 0， 分子 / 分母 = 0 / 0 = 1， 还是 有意义 的 。 但 这样 在 本题 里 会 导致一个 问题， a = 2 p ( n ³ + n ) / ( n ² - 1 ) ， n = 1 时， 分母为 0， 此时， 分子 里 的 n ³ + n = 2 ， 若 分子 也要 为 0， 就需要 p = 0 ， 0 不是 素数， p = 0 不符合题意 。
民科吧 争论 0.9999…… = 1 的 问题 争得 锣锅底响， 那 本题 也可以这样做， 可知 当 a -> 无穷 时， 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] 的 极限 是 1，
那么， 让 a -> 无穷 ， 则 题目原式
p = b / 4 * 根号 [ ( 2a - b ) / ( 2a + b ) ] , a -> 无穷
= b / 4 * 1
= b / 4
则， p 可以为 任意 素数， 让 b = 4 * p ， 则
p = b / 4
= 4 * p / 4
= p
即 p 可以为 任意素数， 可以是 无限大 的 素数， 则 答案 是 p 可以是 无限大 的 素数 。
这 ？ 数论题 不能 这样做吧 ？
做完 这个 题 以后， 我发现 对 哥猜（哥德巴赫猜想） 充满了 信心 ， 哥猜 是 如此 的 简单， 如此 的 清晰， 前所未有 的 简单 。
其实 对 哥猜 没 多大 兴趣， 哥猜 的 题目 很简答， 琅琅上口， 和 这题 差不多， 难度 也和 这题 差不多 吧 ？
告诉 大家一个 证明 哥猜 的 办法， 先证明 在 一个 有限 的 范围 内 哥猜 是 成立 的 ， 比如， 小于 10000 的 自然数 里 ； 再 在 证明 里 找一个（一些） 条件， 把 这个 条件 推广到 无限 的 范围， 这样， 就 证明 哥猜 了 。
补充一点 ：
在 代数场合， 当 x = 0 时， 4 x / x = 1 ，
在 极限场合， 当 x -> 0 时， 4 x / x = 4 ，
这 ？