我前几天 发了一篇文章 《做一道题 ： 一个 古灵精怪 的 重积分》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13681399.html ，
网友 nigffb 在 《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》 https://tieba.baidu.com/p/6947806936 的 7 楼 贴出了 部分 答案 ，
下面 是 我在 《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》 里 的 一些 回复 。
9 楼
K歌之王: 原来 是 7 楼 那样 积 啊， 我说 这个 积分 里 有 椭圆积分， 怎么积 ？ 7 楼 的 做法 技巧性 太高了， 属于 棋弈型 。
K歌之王: 什么 是 棋弈型 ？ 就像 研究 棋谱 和 象棋 围棋 残局 一样， 坐在那里 几十年 ， 就在 想 那些 棋谱 和 残局 ……
K歌之王: 我在想， 当 我 步入 老年 的 时候， 会不会 也变成 棋弈型 …… @银河科学院 @东方学帝
10 楼
不过 这样一来， 椭圆积分 也可以用 这种 方法 积出来 。
关键 是 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这个公式 。
11 楼
你们 的 积法 用到了 无穷级数， 这算不算 犯规 ？
好吧， 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 展开式 比 泰勒级数 简单多了 ……
这题 可以 再叫 一个 题目 “椭圆积分 展开为 无穷级数” 。
12 楼
这题 还可以 叫作 “万能去根号法 之 级数法” 。
13 楼
好像 也可以用 泰勒级数 给 1 / 根号 ( 1 + x ) 去根号， 好像 也 不复杂 。
等， 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这似乎 就是 泰勒级数 ？
用 泰勒级数 给 分母 去根号 后， 分母 也 不存在了， 可以 容易 的 算出 级数 的 每一项 的 重积分， 级数 积分 的 结果 也是 一个 级数 。
不知 7 楼 还有 那么 多 步骤 干嘛 ？
是 要 把 结果 从 级数 合并 为 一个 值 吗 ？
14 楼
好吧， 我想简单了一点， 用 泰勒级数 去根号 后，
每一项 要计算 的 积分 是 ʃ ( sin α )^n dα 这种类型的， 并不简单 。
要是 ʃ ( sin α )^n d ( sin α ) 就 简单了 ， 呵呵呵呵 ……
15 楼
ʃ ( sin α )^n dα
= ʃ ( sin α ) * ( sin α )^(n-1) dα
= ʃ ( - cos α ) ′ * ( sin α )^(n-1) dα
= ( - cos α ) * ( sin α )^(n-1) - ʃ ( - cos α ) * [ ( sin α )^(n-1) ] ′ dα
= ( - cos α ) * ( sin α )^(n-1) + ʃ cos α * [ ( sin α )^(n-1) ] ′ dα
= - cos α * ( sin α )^(n-1) + ʃ cos α * ( n - 1 ) * ( sin α )^(n-2) * cos α dα
= - cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) * ʃ ( cos α ) ² * ( sin α )^(n-2) dα
= - cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) * ʃ [ 1 - ( sin α ) ² ] * ( sin α )^(n-2) dα
= - cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) * ʃ [ ( sin α )^(n-2) - ( sin α )^n ] dα
= - cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) * ʃ ( sin α )^(n-2) dα - ( n - 1 ) * ʃ ( sin α )^n dα
n * ʃ ( sin α )^n dα = - cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) * ʃ ( sin α )^(n-2) dα
ʃ ( sin α )^n dα = - 1/n * cos α * ( sin α )^(n-1) + ( n - 1 ) / n * ʃ ( sin α )^(n-2) dα (1) 式
根据 (1) 式， 只要 知道 ʃ sin α dα ， 就可以 得到 ʃ ( sin α ) ³ dα ， ʃ ( sin α ) ⁵ dα ， ʃ ( sin α ) ⁷ dα ……
只要 知道 ʃ ( sin α ) ² dα ， 就可以 得到 ʃ ( sin α ) ⁴ dα ， ʃ ( sin α ) ⁶ dα ， ʃ ( sin α ) ⁸ dα ……
ʃ sin α dα = - cos α (2) 式
ʃ ( sin α ) ² dα
= ʃ ( - cos α ) ′ sin α dα
= - cos α sin α - ʃ - cos α ( sin α ) ′ dα
= - cos α sin α - ʃ - cos α cos α dα
= - cos α sin α + ʃ ( cos α ) ² dα
= - cos α sin α + ʃ [ 1 - ( sin α ) ² ] dα
= - cos α sin α + ʃ dα - ʃ ( sin α ) ² dα
2 ʃ ( sin α ) ² dα = - cos α sin α + ʃ dα
2 ʃ ( sin α ) ² dα = - cos α sin α + α
ʃ ( sin α ) ² dα = - 1/2 * cos α sin α + 1/2 * α (3) 式
2747293287q （飞天意面教徒） ： 你在整啥
16 楼
回复 15 楼 2747293287q （飞天意面教徒），
用 泰勒级数 去根号 后， 原式 变成一个 级数， 对 级数 的 四重积分 可以 变成 对 级数 的 每一项 的 四重积分，
而 每一项 四重积分 的 每一重 都是 ʃ ( sin α )^n dα 的 形式， 所以， 只要 求出 ʃ ( sin α )^n dα 就可以 得到 每一项 的 每一重 积分， 进而 得到 每一项 的 积分，
得到了 每一项 的 积分， 就得到了 本题 结果， 当然 这个 结果 还是 个 级数 。
15 楼 是在 求 ʃ ( sin α )^n dα 。