一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号

一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号，   就是 傅里叶级数，  不过 我对 傅里叶级数 了解不多，  一方面 是 懒得去 细看， 一方面 也是 为了 保持 神秘感 。

 

我们把  一个 周期信号， 甚至 非周期信号，   记为   y =   Src ( t )  ，  也称为  源信号  。

 

傅里叶级数 的 一般形式 可以 写为 ：         Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]    ,     n -> 无穷

 

Sin [ n ] =  An * sin ( ωn * t + ψn ) +  bn  ，         A 为 振幅，  ω 为 角速度，  t 为 时间，  ψ 为 初始相位，  b 为 增量，  n 为 项 的 序号（下标），   An 是 第 n 项 的 振幅，  ωn 是 第 n 项 的 角速度，  ψn 是 第 n 项 的 初始相位，  bn 是 第 n 项 的 增量  。

 

那么，   将 y = Src ( t )    展开 为 傅里叶级数 可以 这样表示 ：

 

Src ( t ) =   Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]         ，    n -> 无穷

 

只要 确定了 每一项 的  A 、ω 、ψ 、b ，    就 得到 源信号 对应 的 傅里叶级数 了  。

 

那么，   每一项 的  A 、ω 、ψ 、b  怎么 确定  ？

 

记  Sins ( t )  =  Sin [ 1 ] + Sin [ 2 ] + Sin [ 3 ] + …… + Sin [ n ]   ，   n -> 无穷

可以写一个  定积分，       ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ，    

[ t1, t2 ]  是 定积分 的 区间， 也是 源信号 的 区间，

 

 | Src (t) - Sins (t) |   表示  Src (t) - Sins (t)   的 绝对值   。

 

我们 只要 找出 让     ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]       这个 定积分 的 值 等于 0 的 条件 就可以了  。

就是说，   我们要 为 每一项 找到 合适 的  A 、ω 、ψ 、b ，    使得      ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   =   0    。

这是一个 泛函 问题  。

 

  ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]       这个 定积分  的 意义是   Src (t)  和  Sins (t)   的 波形 的 差异 有多大，  若 这个 定积分 为 0， 则  Src (t)  和  Sins (t)  的 波形 完全相同   。

 

因为  Sins (t)  是 无穷级数，  由 n 个 项 组成，  n -> 无穷，   所以，  

 

  ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   =   0       (1) 式

 

也可以写为      ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ->   0       (2) 式

 

(1) 式 是 等于 0，   (2) 式 是 趋于 0    。

 

(1) 式 和 (2) 式  是 一个 泛函方程，  也是 一个 积分方程 。

(1) 式 (2) 式  的 解  是  每一项 的  A 、ω 、ψ 、b，   可以 写成 矩阵 ：

 

A1 , ω1 , ψ1 , b1

A2 , ω2 , ψ2 , b2

A3 , ω3 , ψ3 , b3

……

An , ωn , ψn , bn

 

Oh  ……   终于 知道 矩阵 有什么用了  ……

 

一般的，  泛函 的 常见问题 是 求 最小积分条件，   所以，  (1) 式 (2) 式 还可以 写成 ：

 

ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]   ->   min         (3) 式

 

表示    ʃ  | Src (t) - Sins (t) |  dt  ,   [ t1, t2 ]        趋于 最小，

 

(3) 式 和 (1) 式 (2) 式 的 意思 差不多  。       下面 我们 就以 (1) 式 为 代表 了   。

 

(1) 式 这个 泛函方程 要怎么解？          不知道 。         基本上， 这种 方程 已经 达到 无从下手 的 境界 了   。

 

是 什么 造成了 这种 妖怪方程 ？   数学 的 抽象  。

 

可以 对 (1) 式 作一些 简化，   先把   Sins (t) 简化为   Sins (t) = A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t )   ，

这个简化 忽略了 ψ 和 b   。

于是，   (1) 式 变为 ：

 

ʃ  | Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]  |   dt ,  [ t1, t2 ]  =   0

 

再简化一点，  把 绝对值号 去掉，

 

ʃ  Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]   dt ,  [ t1, t2 ]  =   0

 

积分 也 去掉 算了 ，

Src (t) -  [ A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t ) ]    =   0

A1 sin ( ω1 t ) + A2 sin ( ω2 t ) + A3 sin ( ω3 t )  + …… + An sin ( ωn t )  =  Src (t) 

 

现在 这 方程 能 解 了 吗 ？   好像还不能，   那 把  sin ( ω1 t ) ,  sin ( ω2 t ) ,  ……   sin ( ωn t )    都 换成 常量  k1,  k2,  ……  kn，   把  Src (t)  也换成常量  S  ，

 

k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + ……  kn An = S     ，       A1 , A2,  A3 , …… An  为 未知数，    k1, k2, k3, …… kn  为 常数，    S 为 常数    (4) 式

 

这个 方程 能 解 了 吗？      可以 进一步简化，  让 n 为 有限大 的 自然数  ，

 

k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + ……  kn An = S     ，       A1 , A2,  A3 , …… An  为 未知数，    k1, k2, k3, …… kn  为 常数，    S 为 常数，   n 为有限大的自然数    (5) 式

 

(5) 式 是 一个 n 元方程，   也是一个 不定方程，   也是一个 丢番图 方程  。

 

(5) 式 方程 怎么解  ？     当然 (5) 式 有 无穷多个 解，   那 比如，  求 最小解，  比如  A1 + A2 + A3 + …… + An  的 和 最小 的 解  。

 

(4) 式 (5) 式 和 (1) 式  有 什么关系 ？        没有关系，     但可以 通过 (4) 式 (5) 式 类比 看看 (1) 式  要 怎么解   。

 

那么，  要怎么来 求 得 傅里叶级数 呢 ？     可以 想点 办法  。

 

比如，  先把 问题 简化 为  求 第一项  Sin [1]  ，     可以 先 求出 一个 正弦信号，  波形 和 源信号 相差 最小，  这就是 Sin [1] ，   然后，  让 源信号 减去 Sin [1] ， 得到 的 差 记为 z  ：

 

z =  Src (t) - Sin [1]

 

接下来 再 求 一个 正弦信号，  波形 和 z 相差 最小，  这就是 第二项  Sin [2] ，  然后，  让  z = z - Sin [2]  ，   以此类推，  求  Sin [3] ,  Sin [4] ,  ……  , Sin [n]   。

 

先来看 怎么求 Sin [1] ，   和 上文 (1) 式  的 原理 一样，    可以 写一个 定积分 来 表示  源信号 和  Sin [1]  的 波形 差异 大小 ：

 

ʃ  | Src (t) -  Sin [1] | dt  ,     [ t1,  t2 ]

 

让 这个 定积分 最小，

 

ʃ  | Src (t) -  Sin [1] | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (6) 式

 

(6) 式  就是 求  Sin [1]   的  泛函方程  。

 

因为   Sin [1] = A1 sin ( ω1 t + ψ1 ) + b1  ，   代入 (6) 式 ，

 

ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω1 t + ψ1 ) -  b1 | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (7) 式

 

对于   一些 简单 、规则 的 周期信号， 比如 方波， 三角波，     这些 信号 作为 源信号 的 话，  可以 不考虑  ψ1 、b1 ，

同时， 显然，   它们 的 基波 的 周期 和 它们 一样，  即  ω1  就是 源信号 的 ω ，

于是 (7) 式 可以 简化 为 ：

 

ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]    ->    min       (8) 式

 

ω 已知，  就是 源信号 的 ω ，       所以，   (8) 式 中 只有一个 待定系数  A1  ，    只要 求出 A1 就可以，   这样的话，   可以试试 变分法，  看用 欧拉方程 能不能 解出来  。

 

但  欧拉方程 的 解 是 一个 函数，   这里 的 A1 是 一个 系数，  是 常量，  这就 尴尬 了，  呵呵呵呵 。  这两者（函数 和 常量） 的 矛盾 能不能 调和 ？  期待 数学天才们 的 表演，  拭目以待 。

 

我们 可以 画 一个 图 把 上面 的 过程 形象 的 表示出来 ：

 

 

 

 

蓝色 三角波 是 源信号，    红色 正弦波 是 基波，  也就是 傅里叶级数 的 第一项  Sin [1]  ，    红线 和 蓝线 之间 用 绿线 标出 的 区域 就是 两者 波形 的 相差，  绿线 标出 的 区域 面积 大，  则 两者波形 相差 大，   面积小， 则 波形相差小 。

 

绿线 标出 的 区域 面积 就是 定积分   ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]     ，   (8) 式 就是 让 这个 面积 最小 。

 

如图，  在这个 场景 里，  我们 只要 确定 A1，  使得 绿线 标出 的 区域 面积   最小 就可以  。

 

上文 提到 可以 考虑 用 变分法，  大家 可以 自己 试试，  这里 先不讨论 。  我们 看看 用 离散 线性 样本 的 方法 。

 

可以 大概 给 A1  划一个 范围，  把 这个 范围 切割 成 9 等分，  这样 可以 有 10 个 值，   把 这 10 个 值 代入    定积分   ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]   ，    看 哪个值 得到 的 定积分 最小，    就 取 这个 值 作为 A1，    切割 的 等分 越多，   则  结果 越 精确  。

 

[t1, t2]   在 这里 是 一个周期  。

 

当然，   对于 横坐标 t，  在  [ t1, t2 ]  区间 里 也要  切割一些 等分 来 近似计算积分   。     假设   [ t1, t2 ]    切割了 100 个 等分，   乘上 A1 的 10 个 值，  计算 的 时间复杂度 就是   10 * 1000 = 1 万   。

 

这个方法 对于 一般 的 源信号，  也许 有 不错 的 近似 效果 。  但是 对于 一些 源信号，  比如 突变性 的，    就 不适用 了  。

 

 

 

 

比如，  上图 蓝色 的 源信号，   突变 很明显 ，       合成 它 的 基波 和 谐波，  大概 要 像 图上 这样 比较合适  。

红色 是 基波，  也就是 傅里叶级数 第一项，   橙色 是 一个 谐波，  它的 频率 是 基波 的 3 倍，   可以 认为 是 傅里叶级数 的 第三项  。

 

显然，    基波 和 源信号 的 波形 差异 并不是 最小， 甚至 还 有点 大  。  从这里看出，   构造 傅里叶级数  需要一些  “总揽全局” 的 规划 。

又或者说，  上面 一开始 提出 的 一项 一项 求 的 方法，  割裂了 傅里叶级数 的 “整体性”   。

 

如果 把 傅里叶级数 的 所有项 放到一起来 考虑，   可以 简化一点， 让 n 等于一个 有限的 不太大的 自然数，  比如 n = 5，  这样就是 由 5 个 正弦信号 来 组成 源信号  。

 

5 个 正弦信号 写成 矩阵 ：

 

A1 , ω1 , ψ1 , b1

A2 , ω2 , ψ2 , b2

A3 , ω3 , ψ3 , b3

A4 , ω4 , ψ4 , b4

A5 , ω5 , ψ5 , b5

 

每个 正弦信号 的  A , ω , ψ , b   均 取 10 个值，  这样来匹配，  则 每个 正弦信号 会 产生出 10^4 = 1 万 个 样本，

有 5 个 正弦信号，   5 个 正弦信号 的 样本 在一起 匹配，   会 产生出   ( 1 万 ) ^ 5 = 10^20 个 样本，

10^20 个 样本 中 波形 和 源信号 差异 最小 的 那个 样本 就是 最优解  。

 

10 ^ 20 ，  这个 计算量 太大 了 ，      可以简化一点，    让 ω 固定，  5 个 正弦信号 的 ω 依次为  ω ,  ω * 2  , ω * 3 ,  ω * 4 ,  ω * 5  ，   忽略 b  。

这样 写成 矩阵 ：

 

A1 , ω , ψ1 

A2 , 2 * ω , ψ2 

A3 , 3 * ω , ψ3 

A4 , 4 * ω , ψ4 

A5 , 5  * ω , ψ5 

 

因为 ω 是 固定 的，   每个 正弦信号 参与 取值 匹配 的 只有 A 、ψ，   所以，  每个 正弦信号 的 样本 是 10^2 = 100 个 ，

5 个 正弦信号 组合匹配 产生 的 样本 是  100 ^ 5  = 10^10 = 100 亿  个  。

 

这个 计算量 还是 太大， 呵呵 。  所以 这个 算法 似乎 有点 不科学，  也有点 白痴，   哈哈 。

 

到目前为止，  这个 算法 处理的，   是 简单信号 （Simple and Pure） ，    简单信号 是指 波形 单一 、特点明显  的 周期信号，   常见 的 人造信号 很多是 简单信号，   比如 方波 、三角波 、梯形波 ，  等等  。

 

简单信号 比较 容易 进行 傅里叶级数 分解 。

 

自然界 中 的 信号 大多 是 复杂的，  具有 复杂 和 多样 的 波形，  即使 有 周期性，  但 也不是 一成不变 的 。

 

自然界 中 的 信号 比如 自然界 中 的 声音，   人声 、动物的声音 、乐器的声音，  以及 自然界 中 的 各种声音 。

 

以 声音信号 为例，    波形 表示 音色 和 音质 ，   还传达着信息，  人类语言 、动植物的声音 、大自然的声音 都 传达 着 各种各样 的 信息 。

 

我们来看一个 声音信号，  这个 声音信号 是 我 假想 的  。

 

 

 

 

可以 把 这个 信号 分为 3 个 信号，  也是 3 个 分量 ：

 

分量 1 ：

 

 

分量 2 ：

 

 

分量 3 ：

 

 

 

 

分量 1 的 频率 和 源信号 一样，   音调（音高） 听起来 大概 和 源信号 一样，   但 脉冲宽度窄，  这表示 脉冲本身的 频率高， 所以， 音色 中 带有 尖锐 的 特质 。  另外，   脉冲宽度窄 也 意味着 振动 能量 小，   所以， 听起来 会 比较 弱小 、细小，  总的来说， 听起来 是一个 尖细 的 声音 。

分量 1 合成到 源信号 中，  会 让 源信号 的 音色 听起来 更丰富 。

 

我感觉，   分量 1 听起来 是 “嘀 -” ，   分量 2  听起来 是 “嘟 -” ，  分量 3 听起来 是 “咚 -”  。   哎 ？   怎么 都是 声母 D 开头 的 ？

 

上面 3 个 分量 都是 简单信号，   这样 的 分量 称为  频域 的 自然分量，   简称 自然分量，   又名 特征分量 。    将 信号 分解 为 自然分量 的 方法 称为 自然分解法， 又名 特征分解法  。

 

自然分量 和 傅里叶级数 不一样，   傅里叶级数 是  一组 正弦函数，   且 每一个 正弦函数 的 频率 是 指定 的 。

 

自然分量 不是 傅里叶级数  。

 

要把 自然界 的 信号 分解 为 傅里叶级数 并不容易，   首先一个 问题 就是 基波 的 频率 是多少？  怎么确定 ？

 

自然界 的 信号 通常 是 分解为 自然分量 来 进行 分析，  以 声音信号 为例，    比如 测量 音调（音高），  分离出 基因 泛音，   声纹识别 、语音识别 、各种广义的声音识别 和 声音特征分析  。

 

自然界 的 信号 分解 为 傅里叶级数 反而 会 丢失 原始 的 特征信息 。

 

也许， 通常，  傅里叶级数 只适合于 分解 简单信号  。

 

将 自然界 的 信号 分解为 自然分量，   自然分量 是 简单信号，  可以 进一步 分解为 傅里叶级数 。

 

当然，  自然界 的 信号 不是 绝对规则的， 分解 得到 的 自然分量 的 每个周期 的 波形 和 周期 也不一定 完全一样，   可以 近似等价 为  每个周期 都一样 的 规则的 、理想的 简单信号，  再 分解 为 傅里叶级数 。

也可以 单独 取 一个 周期 的 波形 来 分解 为 傅里叶级数，  当然 也可以取 任意 一段 波形 来 分解 为 傅里叶级数  。

也可以 将 任意 一段波形 当作 一个 周期 来 分解 为 傅里叶级数，     就像 对于 非周期信号，  将 整个信号 的 定义域 作为 一个 周期  。

 

自然界 的 声音信号 ，  可以 通过 特征分解法 分离 出 一组 自然分量，  这组  分量 中，   振幅 明显 大于 其它 分量 的 那个 分量 称为 基音，  其它 的 分量 称为 泛音 。

一个 声音 的 音调 由 基音 决定，   基音 的 音调 代表 声音 的 音调   。    泛音 的 音调  让 声音 听起来 层次丰富  。

 

如果 一个 声音信号 的 分量 中，  有 2 个 分量 的 振幅 不相上下，   彼此 没有 明显优势，  那么，  这可能是 2 个 声源 的 声音，  也有可能是 一个 声源 发出了 频率 不同 的 2 个 声音 混在一起 ，   这 2 个 分量 可以认为 是  2 个 声音 的 基音  。

 

但 事情 比这 复杂，    那 2 个 声音 各自 的 泛音 要 怎么 区分， 怎么 找出来 呢  ？

 

这就 涉及 到 声音识别 的 问题 了，   这 涉及 到 机器识别 ， 或者说 人工智能  。   比如 人类 ， 或者 动物 可以 在 一堆 声音 里 识别 出 不同 声源 发出 的 声音，  可以 同时 区分 出 不同的 人 说话，  乐器，  以及 各种声音  。

 

这涉及到 特征识别 、特征提取，     这涉及到 人工智能 和 仿生学  。

 

为什么说 仿生学 呢 ？  因为 生物 有一套 “程序” 来 区分 和 提取 出 声音信号 中 的 各种声音  。

 

又比如，   一群 蝙蝠 在一起，   并不会 把  其它 蝙蝠 的 超声波 和 自己 发出 的 超声波 混淆起来  。

 

要 怎样 用 特征分解法 来 将 信号 分解为 自然分量 ？   可以看看  《卷积 毫无意义》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12839957.html   。

 

第一次 扫描 分离出 的，   是 频率 最高 的 分量，   甚至是一些 噪点，

第二次 扫描 分离出 的，   是 频率 第二高 的 分量，

第三次 扫描 分离出 的，   是 频率 第三高 的 分量，

……

最后一次 扫描 分离出 的，    是 频率 最低 的 分量  。

 

说到这里，  会想到，  有时候，    特征点 和 噪点 仅 一纸之隔  。

 

我写了一个 演示程序，  可以把 几个 正弦信号 合成为一个 合成信号  。   可以作为 学习测试 工具 。

程序 是 用 Html 5 + javascript 写的，     项目地址 ：       https://github.com/kelin-xycs/FourierStudy   。

进入 项目页面 后， 点击 右边 的 “Clone or download” 绿色按钮，  就可以 下载 项目 了 。

项目 里 的 程序文件 是 一个 Html 文件  SinesCompose.html ，    用 浏览器 打开 就可以运行   。

 

 

2020-05-29      补充 ：

上文 有 这样一段话 ：

“

ω 已知，  就是 源信号 的 ω ，       所以，   (8) 式 中 只有一个 待定系数  A1  ，    只要 求出 A1 就可以，   这样的话，   可以试试 变分法，  看用 欧拉方程 能不能 解出来  。

 

但  欧拉方程 的 解 是 一个 函数，   这里 的 A1 是 一个 系数，  是 常量，  这就 尴尬 了，  呵呵呵呵 。  这两者（函数 和 常量） 的 矛盾 能不能 调和 ？  期待 数学天才们 的 表演，  拭目以待 。

”

 

其实不是这么回事 。         求 A1  是 一个 函数极值问题，  不需要用到 欧拉-拉格朗日 方程 。

可以 先 把  (8) 式  里 的 定积分，  也就是  ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt  ,     [ t1,  t2 ]    这个 定积分 的 表达式 求出来（如果能求出来的话），  怎么求呢 ？  先求  ʃ  | Src (t) -  A1 sin ( ω t )  | dt   这个 不定积分 的 表达式（如果能求出来的话），   代入 t1, t2 求 不定积分 的 差 就是 定积分，  把 定积分 记为  y = D ( A1 ) ，  即 把 定积分 看作 A1 的 函数，   求   y = D ( A1 ) 的 极值，  或者说 求  y = D ( A1 ) 的 极值条件，   即 A1 = ？  时，  D ( A1 )  取 极值 。 

D ( A1 )  取 最小值 时 的 A1 ，  就是 要求 的 A1  。

极值 怎么求 ？        函数极值 出现在 极值点 和 折点 。 

极值点 是 导数 为 0 的 点， 且 点 的 两边 的 导数 异号 。

折点 是 导数 为 无穷， 但 函数值 不是 无穷，  且 点 的 两边 的 导数 异号 的 点 。  折点 也可以 称为 不光滑极值点 。

还有一种情况 是 单边折点，            单边折点 是 导数 为 无穷，  函数值 不是 无穷， 且 只在 点 的一边 有 函数，  另一边 没有 函数 的 点 。

比如，   y = 根号 ( x )  ，    当 x = 0 时，  y = 0 ，   y ′ =  无穷 ，   当 x >= 0 时，   y 存在，  当 x < 0 时，  y 不存在 。

所以，   x = 0  是  y = 根号 ( x )   的   单边折点  。