偏微分方程 张量 可以说是 描述性 语言， 实际 的 计算 基本上 要靠 计算机 ， 所以， 基本上， 偏微分方程 张量 可以 算作 计算机 语言 。
张量 有点 像 函数式 语言 和 声明式 语言 的 结合体， 而 这 正是 时下 计算机 语言 的 时尚 潮流 。
矩阵 是 离散 的， 矩阵 的 元素 是 离散 的 ， 矩阵 和 矩阵 之间 也是 离散 的 。
矩阵 的 运算 是 “步骤” 式 的 ， 也可以说 是 演绎 。 步骤 就是 程序， 演绎 也是 程序 。
从 另一个 角度 来 看， 矩阵 可以 算作 一种 数据结构， So ……
本文 随便一说 。
上面 的 内容 写于 2020-5-1 晚间， 下面 的 内容 补充于 2020-5-2 0:30 ：
写这篇 文章 的 灵感 大部分 来自于 陈同学（陈彼方） 最近 反反复复 的 念叨 。
看， 我才写了 这篇 文章， 他 在 反相吧 又 发了一个 帖 《十道微分几何题难住了反相吧所有人，没有一个人尝试着解题》 https://tieba.baidu.com/p/6655003702 。
我在 这个 帖 里 这样 回复 ：
8 楼
K歌之王 ：
陈同学 是 一个 有趣 的 同学， 我 几个月 前 就说过， 我正在 发明 新的 数学工具， 取代 微分几何 流形 黎曼几何 。
最近 正在 思考 霍奇猜想 。
陈彼方: 回复 K歌之王 :《hodge theory and complex algebraic geometry》推荐你去看这本书
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按理， 三体方程 也可以 写成 张量 的 形式， So …… ？
一个质点 和 另一个 质点 之间 可以 建立 “联络”， 可以 “协变” ， 呵呵呵 。
我研究了一下 史瓦西半径 ， 为什么 会 想起来 研究 史瓦西半径 ？ 因为 在 《十道微分几何题难住了反相吧所有人，没有一个人尝试着解题》 https://tieba.baidu.com/p/6655003702 的 24 楼， 网友 富科莜麦 这样说 ：
“
相对论主要错在狭义相对论。
用张量计算结合万有引力的泊松公式得到的广义相对论施瓦茨解存在真理性。但是伪科学者曲解了施瓦茨解，利用所谓黑洞宣传时间机器和穿越。
一分为二看待相对论是很重要的，不要简单全盘肯定和全盘否定。实事求是才是正道。
微分几何的张量计算当然是正确的，但是不等于相对论就完全正确。 在实事求是的基础上对各种理论一分为二，而不是绝对肯定或绝对否定。
”
在 知乎 《请问史瓦西半径应该如何推导？》 https://www.zhihu.com/question/273509600/answer/368834298 里 ， 有 2 个 回答， 第 1 个 回答 是用 “史瓦西坐标系下度规” 推导 的， 度规 是 一种 张量， 这个 推导 就是 用 广义相对论 和 张量 推导 的 。
第 2 个 回答 是 用 天体 的 逃逸速度（也就是 第二宇宙速度） 公式 推导 的 ， 这个 推导 在 百度百科 “史瓦西半径” 词条 里 也有， 但 词条 里 说了， “这并非严格推导过程，结论的正确仅仅是一种巧合” 。
第 2 个 回答 的 推导 确实 不是 严格 推导， 因为，
逃逸速度 公式 v = ( 2 G M / R ) 开方 ，
R = 2 G M / v ² ，
当 v = 光速 C 时， R = 2 G M / C ² ，
R = 2 G M / C ² 就是 史瓦西半径 。
但 根据 逃逸速度 的 意义 ， R = 2 G M / C ² 表示 的 是 在 R 处， 物体 以 光速 C 刚好 可以 离开 M 至 无限远 处 ， 并不是 物体 以 光速 C 不能 飞出 R 范围 。
史瓦西半径 的 意义 是 物体 以 光速 C 不能 飞出 R 范围 。
所以， 这里 也可以看出来， 用 经典力学 （万有引力） 得到 的 结果 和 广义相对论 是 不一样 的 ， 经典力学 认为 R = 2 G M / C ² 时， 物体 以 光速 C 可以 飞到 无限远， 而 广义相对论 认为 R = 2 G M / C ² 时， 物体 不能 飞出 R 范围 。
为什么 会 这样 ？ 我想 是 因为 广义相对论 对 引力 作了 修正， 并且 相对论 动力学 加入了 相对论 的 时空效应 （物体运动 状态 除了 受 牛顿第二定律 决定 外， 还受到 相对论 时空效应 的 影响） 。 有关 这 2 点， 可以参考 知乎 文章 《请问史瓦西半径应该如何推导？》 的 第 1 个 回答 里 的 2 段 文字 ：
“
总之史瓦西度规是在静止和球面对称两个前提假设之下，爱因斯坦场方程的真空解 
（且根据Birkhoff定理是唯一解）。
……
系统学习过广义相对论就会知道，光的路径满足 
（对于业余人士，用不太专业的说法来讲，这个量大概看作光的“时间”，接近光速的物体时间无限变慢。）
”
第 1 段 文字 提到了 爱因斯坦场方程， 爱因斯坦场方程 应该 对 牛顿 万有引力 作了 修正 。
第 2 段 文字 提到 “接近光速的物体时间无限变慢” ， 这应该是 动力学 加入了 相对论 的 时空效应 。
微分几何 是 什么 ？ 不就是 解析几何 ？ 哦， 是 用到了 微积分 的 解析几何 。
代数几何 是 什么 ？ 是 用 几何性质 来 研究 代数方程 。
微分几何 研究 曲面 的 生长变化， 所以 会 用到 偏导数 等 。
代数几何 研究 代数方程 的 根 的 分布， 所以 用 集合论 比较多 。
对于 球面 x ² + y ² + c ² = 10 ， 求 点 ( 1, 2, 根号 5 ) 处 的 偏导数 ∂y / ∂x ， ∂z / ∂x 。 这算不算是 一道 微分几何 的 题 ？
还可以 出一些 复杂一点 的 题， 只要 让 空间解析几何 的 题 加上 偏导数 导数 就行 。
比如， 对于 曲面 f (x, y, z) = 0 ， 某个 平面 与 该 曲面 相交 得到 曲线 C ， 求 曲线 C 上 的 一点 的 导数， 也可以说 切线 。
微分几何 产生 和 发展 在 18 世纪 、19 世纪， 那个 时代 还没有 计算机， 再加上 西方科学家 对 数字符号 和 算式（数学） 的 迷恋 和 崇拜， 使得 西方数学家 想尽办法 来 研究 微分几何 和 解决 微分几何 问题， 在 这一时期 里， 西方数学家 把 数学技巧 、数学思维 、数学方法 发展到了 登峰造极 。
空间中 的 曲线 和 曲面 的 情形 是 很复杂 的， 西方数学家 想尽办法 用 数学（数学语言 、数学方法） 来 研究（认识 、描述） 空间 曲线 和 曲面 。
不过 这些 俱往矣， 现在 该 看 我们 的 了 ， 哈哈 。
陈同学 发的 那些 微分几何 的 题， 我不想做， 我也不想去看 那些 英文， 但 陈同学 既然 发了 这些题， 这让 我 产生了 一个 想法 ： 改造 微分几何 。
5 楼
接 3 楼，
在 百度百科 “三大宇宙速度” 词条
中， 可以看到 第二宇宙速度 的 推导， 也是 逃逸速度 v = ( 2 G M / R ) 开方 的 推导 ：
“
记第二宇宙速度为v2，设地球质量为M，卫星质量为m，地球半径为R，万有引力常数G，地球表面重力加速度g。发射后全部动能转化为引力势能使卫星跑到离地球无穷远处（机械能守恒）。
”
我们可以来 继续 做一些 推导计算 。
先把 x 改成 r， 当然， 这只是 改一个 变量名， 改不改 都一样， 但 在 这里 我 想用 r 作为 变量名 。
现在 的 积分上限 是 正无穷， 我们可以把 积分上限 改为 变量 r， r 表示 质点 m 到 M 质心 的 距离， R 表示 到 M 质心 的 一段距离， 是 常量 。
在 积分上限 为 变量 r 的 条件 下， 我们再来做这个 推导，
先 求 不定积分 ：
ʃ ( G M m / r ²) dr = - G M m / r
再 求 定积分 ：
ʃ ( G M m / r ²) dr , [ R, r ] = - G M m / r + G M m / R
设 v 为 m 在 R 处 的 速度， 于是，
- G M m / r + G M m / R = 1/2 * m v ²
约去 m，
- G M / r + G M / R = 1/2 * v ²
G M / R = 1/2 * v ² + G M / r
R = G M / ( 1/2 * v ² + G M / r ) (1) 式
假设 球体 在 引力问题 中 可以 和 质点 等价， 或者说， 球体 在 引力问题 中 可 近似 看作 质点， 则，
让 G = 6.67 * 10 ^ -11 N·m²/kg²
M = 太阳的质量 = 1.989 * 10 ^ 30 kg
v = 光速 C = 30 万 千米 / 秒
r = 1000 米
代入 (1) 式， 计算 得 R = 746.71 米 。
这个 R = 746.71 米 说明了什么 ？ 这个 R 表示 ： 如果 太阳 的 直径 是 746.71 米， 如果 光子 是 由 普通物质 构成 的 粒子， 那么， 光子 从 太阳 表面 出发， 跑到 离 太阳 质心 1000 米 的 时候， 速度 会 减 为 0， 然后 被 太阳引力 “抓回去” 。
r - R = 1000 - 746.71 = 253.29 米， 也可以说， 光子 跑到 离 太阳 表面 253.29 米 时， 速度 会 减 为 0， 然后 被 太阳引力 “抓回去” 。
这 算不算 一个 经典物理 的 “史瓦西解” ？ 哈哈哈哈哈哈哈 。
6 楼
平面 和 曲面 相交 得到 一条 曲线， 称为 平面相交线， 平面相交线 是 二维平面 上 的 曲线， 可以求 导数， 称为 平面相交线 导数 。
偏导数 也是 平面相交线 导数， 偏导数 是 平面相交线 导数 的 特例 。
平面相交线 全称 曲面 的 平面相交线， 简称 平面相交线 。
7 楼
两个 曲面 相交 得到 一条 空间 中 的 曲线， 空间 曲线 上的 一点 有 一条 切线， 这条 切线 是 一条 空间 中 的 直线 。 这条 切线 表示 曲线 在 这一点 前进 的 方向， 也可以说 生长 的 方向 。
空间直线 有 2 个 斜率， 这 2 个 斜率 可以 决定 直线 的 方向， 这 2 个 斜率 相等 的 直线 有 无数条， 它们 都是 平行 的， 它们 可以 平移 重合 。
将 这 2 个 斜率 称为 1 组， 空间直线 有 6 组 斜率 ： [ ( x , y ) , z ] ， [ ( y , x ) , z ] ， [ ( x , z ) , y ] ， [ ( z , x ) , y ] ， [ ( y , z ) , x ] ， [ ( z , y ) , x ] ，
这 6 组 斜率 是 等价 的 。
把 空间曲线 的 切线 的 斜率 称为 平面导数， 这样，空间曲线 的 一点 有 6 组 平面导数， 1 组 有 2 个 平面导数， 这 6 组 平面导数 是 等价 的 。
平面导数 全称 空间曲线 的 平面导数， 简称 平面导数 。
当然， 有的时候， 2 个 曲面 相交 得到 的 是 一条 平面 上 的 曲线， 比如， 2 个 球面 相交 、 圆柱 和 球面 正交 、 圆锥 和 球面 正交， 得到的都是 一个 圆， 圆 是 平面图形 。
可以看到， 这些情况 都有 对称性 的 因素 。
8 楼
4 楼 说了 18 世纪 、19 世纪 时 西方数学家 把 数学技巧 、数学思维 、数学方法 发展到了 登峰造极， 一片繁荣， 这不仅仅 指 微分几何， 而是 整个 数学 。
这些 当然 是 学问， 是 知识， 是 创造， 是 发展， 是 数学 的 创造 和 发展 。 让人们看到， 啊 ！ 原来 数学 还可以这样的， 原来 数学 还有 这样 的， 原来 数学 是 这样 的 。
但 这些 大部分 只是 形式 的 演变（演绎 演进 变化）， 形式 的 具体 和 多样化， 形式 的 变形， 形式 的 衍生， 并不能 实质性 的 解决问题 。
在 百度百科 “微分几何” 词条 里 ， 有这样一段 文字 ：
“
另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
”
这些 都是 形式 的 演变 、衍生 。
真正 解决问题 是 在 计算机 时代 。 但， 在 计算机时代， 这些 繁琐 的 形式 和 庞大 的 形式体系 还有用 吗 ？ 呵呵 。
会 有 简洁 的 形式 来 取代 老旧 的 形式 。 但 老旧 的 形式 仍然 有 丰厚 的 学术 文化 价值 和 意义， 值得 学习研究， 老旧 的 形式 是 人类 文明 的 一个 重要部分 。
数学形式 的 繁殖 膨胀 变得 繁琐 和 庞大， 还包括 比如 矩阵 矩阵积分 卷积 的 泛滥 。 基本上， 这些 繁琐庞大 的 形式 和 形式体系 是 不需要 的 ， 也可以说是 无用 的 。
9 楼
《卷积 毫无意义》 https://tieba.baidu.com/p/6670161662
10 楼
泛函 是 数学分析 的 高级阶段 和 高级形态， 但 傅里叶级数 之后 的 泛函 基本上 都是在 发展 形式 。
12 楼
回复 11 楼 @爱代数的小姑娘 ，
我 尝试 理清一些 东西， 大概 是 架构方面 …… 细节很多我也不懂 。 新时代 的 数学 、物理 还需要 大家 一起来 创造 。
现代数学 已经 走入 困境， 这是 众所周知 的 。 数学 的 新方向 在 哪里 ？ 这需要一些 眼光 来 寻找 。 姐儿 老师 的 视角 富有 民间风味， 又有 中国特色， 想必 是 极好 的 。 ^^
陈彼方 同学 虽然 天天 在 这里 背书， 但是 对于 数学 的 死胡同， 他 也 心知肚明， 所以， 他 也 在 寻找 数学（物理） 的 突破点 。
14 楼
我有一个 感觉， 数学技巧 在 欧拉先生 那里 已经 用完 了， 欧拉先生 创造了 自然对数体系 和 变分法（欧拉-拉格朗日 方程）， 后世 只能 在 形式 上 演变 演变 再 演变 。
15 楼
传统数学 的 代表作 ： 二体问题 、傅里叶级数 、最速降线
有意思的是， 二体问题 是 微积分计算（微分方程）， 最速降线 是 简单泛函， 基础 仍然是 微积分计算， 傅里叶级数 是 微积分计算 + 泛函 。
证明 傅里叶级数 是 微积分计算， 求 一个 任意信号 的 傅里叶级数 是 泛函 。
现代泛函 基本上 是 线性 线性 再线性， 向量 向量 再向量， 空间 空间 再空间 。
16 楼
《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745
17 楼
《关于 牛顿 一个晚上 搞定 最速降线》 https://tieba.baidu.com/p/6715083475
18 楼
有 网友 说 “ 没有 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换， 就没有 电子工业， 就没有 电脑 和 手机 。”
其实， 即使 没有 数学 上 的 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换， 随着 工业 的 发展， 在 实际 的 需求场景 中， 也会 产生 相似相关 的 离散形式 。
这些 离散形式 和 数学 上 的 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换 相似相关， 同样 可以 应用于 工业生产 和 科技 的 发展 。
离散形式， 也可以说是 算法， 也可以说是 演绎方法， 也可以说是 程序设计， 也可以说是 系统设计 。
如果 用 计算机 来 实现 算法， 就是 计算机算法， 如果 用 模拟电路 来 实现 算法， 就是 模拟电路设计 。 大概 是 这样 。
事实是， 现在， 大部分 和 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换 相关 的 工作 都由 计算机 来 完成， 一部分 可能 通过 模拟电路 实现 。
计算机技术 需不需要 数学 ？ 真不怎么需要 。 不明白 为什么 一讲到 计算机 就 和 数学 挂钩， 尤其 是 一些 计算机 的 基础理论 或者 技术， 很喜欢 和 数学 挂钩 。 呵呵呵呵 。
讲真， 计算机科学 比较 硬核 的 用到 数学 的 只有 （注意， 是 只有） 加密算法 。 加密算法 没有点 数学 还 真 弄不出来 。
计算机技术 的 大部分 实质 和 本体 是 系统设计， 注意 啊 ！ 有志于 计算机 科学 和 技术 的 青少年 们 。
计算机 的 基础理论 用到了 二进制 和 布尔代数 。 二进制 并不高深， 布尔代数 很浅显 。
计算机网络技术 要用到 信号理论 和 信号技术， 这 涉及到 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换， 但在 上面 开头 就说了， 即使 没有 数学 上 的 欧拉公式， 拉普拉斯变换， 傅里叶变换， 也会有 相似 的 离散形式， 这些 离散形式 可以 支持 工业生产 和 科技发展 。
网络 7 层协议 中， 信号技术 主要是在 物理层 和 链路层 使用， 再往上 网络层 传输层 应用层 都是 系统设计， 和 数学 没什么关系 。
奇偶校验 乍一看 “很数学 ”， 其实 …… 嗯， 是一个 简单的 系统设计 。
事实上， 网络 7 层协议 从 整体 到 局部 都是 系统设计， 系统设计 贯穿 其中， 是 主体 技术 。 数学 应该是 在 其中 有一部分 应用 。
其它的， CPU 设计， 操作系统设计， 网络拓扑， 交换机， 网络协议， 主板设计， 内存设计， 串口设计， 外设设计， 这些都是 系统设计 。
别跟我说 这里面 用到了 什么 矩阵积分 计算 电容器 的 电压曲线，
我跟大家 说一个 思路， 你们 先 去 制造 出 一台 计算机， 原始一点 也没关系， 用这台 计算机 来 计算 什么 矩阵积分 之类， 你觉得如何 ？
这样 你就有 计算 电容器 电压曲线 的 计算能力 了 。 当然， 也可以计算 高精度 的 集成电路 硅刻工艺 需要的计算， 也可以 计算 量子隧道效应 。
有了 计算能力， 就可以 发展 更高精度 的 科技， 就可以造 更好 的 计算机， 有了 更好的 计算机， 就 有了 更好 的 计算能力 …… 如此 循环 。
你觉得 如何 ？
计算机 图形学 用到 数学 比较 多， 但 图形学 是 计算机科学 里 比较独立 的 一个 学科， 和 通用的 计算机 技术 没有关系 。
就是说， 你要 制造 一台 计算机， 并为它编写软件， 这 不需要 图形学 。 只有 你 需要 计算机 具有 图形处理能力 和 编写 图形软件， 才需要 图形学 。
但， 图形学 用到 的 数学 也不算多， 数学 提供 一些 基础 函数， 主要是 空间几何 相关 的， 也会 结合一些 物理定律， 比如 重力 、物体运动 、光线反射 等等 。
而 剩下 的 工作 就是 系统设计 。
大家可能会拿 GPU 说事， 说 设计 GPU 需要 图形学 知识， 这么说也对 。 但可以把 设计 GPU 的 工作 分成 2 部分， 打个比方， 小明 负责 设计 图形函数， 小刚 负责 设计 逻辑电路 。 小刚 只要 把 小明 提供 的 图形函数 用 逻辑电路 实现 就可以了 。
显然， 设计 图形函数 是 数学， 设计 逻辑电路 是 系统设计 。
当然， 还要一个 小红， 把 逻辑电路 变成 物理电路， 小红 和 小刚 的 不同 是， 小刚 不必过多关心 硬件工艺， 主要关心 逻辑设计， 小红 需要 关心 硬件工艺， 把 逻辑设计 转换为 硬件设计 。
其实 我们 还可以来 研究研究 压缩算法 和 虚拟机（Virtual Machine）技术 。 虚拟机 是 当代 计算机软硬件技术 的 交叉技术， 是 软硬件技术 的 集中体现 。
我想 黑客 会比 数学大神 更擅长 虚拟机技术， 大家觉得呢 ？
19 楼
人工智能 主要是 算法， 和 数学 关系不大 。 可以的话， 我希望看到 “复变函数 在 人工智能 里 的 应用” ， 呵呵呵呵 。
20 楼
在 二维平面， 人们 对 函数 玩 的 得心应手 ， 对 方程 也 能 应付自如 。 方程 指 隐函数， 多值函数 等 。
在 三维空间， 人们 被 函数 束缚住 手脚， 被 方程 玩的 晕头转向 。
// ***************** 草稿
在 三维空间， 离散方法 比 函数 更有效 。 更有直接的效用， 更有用， 更有力 。更有力量 。
// *****************
21 楼
为什么 ？ 因为 人类 的 思维 擅长 处理 的 是 一个 一维 的 对象 和 一个 一维 的 对象 之间 一维 的 关系， 这刚好是 一元函数 y = f ( x ) 。
22 楼
我在 《来个 硬核 点的， 谁 把 经典物理 计算 水星进动 的 计算过程 贴出来 ？》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12452972.html 里 这样说 ：
数学 解出来的 二个 物理学 的 大题 ： 二体 和 最速降线 。
数学 解 二体问题 已经 很费劲 。 事实上， 二体 是 单纯的， 水星近日点进动 比 二体 复杂 。
二体问题 的 解 也不是 完备 的， 这个 解 只 描述 了 一个 质点 相对于 另一个 质点 的 运动状况， 没有 描述 2 个 质点 相对于 第三方 参照系 的 运动状况 。
二体 和 最速降线， 一个 是 微分方程， 一个 是 简单泛函， 是 数学能力 的 集中体现 。
24 楼
我在 《一体方程 二体方程 三体方程》 https://tieba.baidu.com/p/6614280270 的 2 楼 这样 说 ：
三体 虽然 对 初始条件 敏感， 但 在 数学上， 给定一个 初始条件， 三体 的 解 是 存在的， 3 个 质点 在 某个 时间 t 的 速度 、位置 是 可以确定的 。
至少在 一段 有限 的 时间 内 是 这样 。
数学 找不到 办法 来 找到 这个 解， 也没有办法 把 这个 解 表示出来 。
三体 的 解， 以 一个 质点 在 时刻 t 的 位置 （比如 x 坐标） 来 说， 没有 固定 的 单调性， 所以 不能 表示 为 代数方程， 也没有 周期性， 所以 不能 表示为 周期函数， 具体 的 说 是 包含 三角函数 的 函数 。
但是， 按照 傅里叶级数 的 宣告， 一个 非周期函数 也可以 表示 为 傅里叶级数， 把 定义域 看作一个 周期 就可以 。
所以， 即使 三体 的 解 没有 周期性， 也 无论 多么 奇形怪状， 都 可以 表示 为 傅里叶级数 。
可以 简化一点， 在 一段 有限的时间 内， 三体 的 解 可以 表示 为 傅里叶级数 。
三维空间 的 三体 的 解 包含 18 个 分量， 一个 质点 有 速度 、位置， 速度 有 x, y, z 3 个 方向 的 分量， 位置 也有 x, y, z 3 个 方向 的 分量， 一个 质点 一共 2 * 3 = 6 个 分量， 三 个 质点 有 3 * 6 = 18 个 分量 。
每个 分量 可以用 一个 傅里叶级数 来 表示， 当然， 18 个 分量 就是由 18 个 傅里叶级数 来 表示 。