第 10 讲 ----------------------------------------------
证明一下 n > 1 时 的 导数公式 ( x^n ) ′ = n x^(n - 1)
当 n = 2 时，
( x ² ) ′ = [ ( x + ⊿x ) ² - x ² ] / ⊿x
= ( x ² + 2 x ⊿x + ⊿x ² - x ² ) / ⊿x
= ( 2 x ⊿x + ⊿x ² ) / ⊿x
= 2 x + ⊿x
当 ⊿x -> 0 时，
= 2 x
所以， ( x ² ) ′ = 2 x 。
当 n = 3 时，
( x ³ ) ′ = [ ( x + ⊿x ) ³ - x ³ ] / ⊿x
= ( x ³ + 3 x ² ⊿x + 3 x ⊿x ² + ⊿x ³ - x ³ ) / ⊿x
= ( 3 x ² ⊿x + 3 x ⊿x ² + ⊿x ³ ) / ⊿x
= 3 x ² + 3 x ⊿x + ⊿x ²
当 ⊿x -> 0 时，
= 3 x ²
所以， ( x ³ ) ′ = 3 x ² 。
可以看到， 对于 ( x^n) ′ = [ ( x + ⊿x ) ^ n - x^n ] / ⊿x， ⊿x -> 0
( x + ⊿x ) ^ n 展开后， 第 1 项 x^n 会 和 - x^n 消掉， 其它项 除了 第 2 项 外， 都 因为 ⊿x -> 0 而 趋于 0，
所以， ( x^n) ′ = [ ( x + ⊿x ) ^ n - x^n ] / ⊿x = 第 2 项， ⊿x -> 0 ，
根据 杨辉三角 ，
第 2 项 的 系数 = n， 次数 = n - 1 ， 即 第 2 项 = n x^(n - 1) ，
( x^n) ′ = [ ( x + ⊿x ) ^ n - x^n ] / ⊿x = 第 2 项 = n x^(n - 1) ， ⊿x -> 0 ，
即 ( x^n) ′ = n x^(n - 1) ， 以上 证明 是 在 n > 1 时 。
第 11 讲 ----------------------------------------------
导数 为什么 要叫 导数 ？ 导 大概 是 方向 的 意思， Direction ， 表示 函数曲线 在 某个点 的 前进方向 。
第 12 讲 ----------------------------------------------
证明一下 n >= 1 时 的 积分公式 ʃ x^n dx = 1/(n + 1) * ( x^(n + 1) ) 。
根据 微积分基本定理， 导数 对 dx 的 积分 是 原函数， 即 ʃ f ′ ( x ) dx = f ( x ) ，
由 第 10 讲 可知， n > 1 时 的 导数公式 ( x^n ) ′ = n x^(n - 1) ， 于是，
ʃ ( x^n ) ′ dx = ( x^n )
ʃ n x^(n - 1) dx = ( x^n )
n ʃ x^(n - 1) dx = ( x^n )
ʃ x^(n - 1) dx = 1/n * ( x^n )
即 ʃ x^(n - 1) dx = 1/n * ( x^n ) ， 以上证明 是 n > 1 时 。
令 m = n - 1， 则 m >= 1 ， ʃ x^m dx = 1/(m + 1) * ( x^(m + 1) ) ，
把 m 再 换回 用 n 表示， 则 ʃ x^n dx = 1/(n + 1) * ( x^(n + 1) ) ， n >= 1 。
第 13 讲 ----------------------------------------------
证明 公式 ( k f (x) ) ′ = k f ′ (x) 和 ʃ k f (x) dx = k ʃ f (x) dx 。
( k f (x) ) ′ = [ k * f (x + ⊿x) - k * f (x) ] / ⊿x ， ⊿x -> 0
= k * [ f (x + ⊿x) - f (x) ] / ⊿x
= k * f ′ (x)
即 ( k f (x) ) ′ = k f ′ (x) 。
ʃ k f (x) dx = k * f ( 1 * x / n ) * x / n + k * f ( 2 * x / n ) * x / n + k * f ( 3 * x / n ) * x / n + …… + k * f ( n * x / n ) * x / n ， n -> 无穷
= k * [ f ( 1 * x / n ) * x / n + f ( 2 * x / n ) * x / n + f ( 3 * x / n ) * x / n + …… + f ( n * x / n ) * x / n ]
= k * ʃ f (x) dx
即 ʃ k f (x) dx = k ʃ f (x) dx 。
第 14 讲 ----------------------------------------------
证明 导数 的 四则运算 公式 。
加 ： [ f (x) + g (x) ] ′
= { [ f (x + ⊿x) + g (x + ⊿x) ] - [ f(x) + g(x) ] } / ⊿x ， ⊿x -> 0
= { f (x + ⊿x) + g (x + ⊿x) - f(x) - g(x) } / ⊿x
= { [ f (x + ⊿x) - f(x) ] + [ g (x + ⊿x) - g(x) ] } / ⊿x
= [ f (x + ⊿x) - f(x) ] / ⊿x + [ g (x + ⊿x) - g(x) ] / ⊿x
= f ′ (x) + g ′ (x)
即 [ f (x) + g (x) ] ′ = f ′ (x) + g ′ (x)
减 ：
[ f (x) - g (x) ] ′
= { [ f (x + ⊿x) - g (x + ⊿x) ] - [ f(x) - g(x) ] } / ⊿x ， ⊿x -> 0
= { f (x + ⊿x) - g (x + ⊿x) - f(x) + g(x) } / ⊿x
= { [ f (x + ⊿x) - f(x) ] - [ g (x + ⊿x) - g(x) ] } / ⊿x
= [ f (x + ⊿x) - f(x) ] / ⊿x - [ g (x + ⊿x) - g(x) ] / ⊿x
= f ′ (x) - g ′ (x)
即 [ f (x) - g (x) ] ′ = f ′ (x) - g ′ (x)
乘 ：
[ f (x) * g (x) ] ′
= { f (x + ⊿x) * g (x + ⊿x) - f (x) * g (x) } / ⊿x ， ⊿x -> 0
设 f ( x + ⊿x) = f (x) + ⊿f ， g ( x + ⊿x) = g (x) + ⊿g ， 于是 ，
= { [ f (x) + ⊿f ] * [ g (x) + ⊿g ] - f (x) g (x) } / ⊿x
= { f (x) g (x) + f (x) ⊿g + g (x) ⊿f + ⊿f⊿g - f (x) g (x) } / ⊿x
= { f (x) ⊿g + g (x) ⊿f + ⊿f⊿g } / ⊿x
= f (x) ⊿g / ⊿x + g (x) ⊿f / ⊿x + ⊿f⊿g / ⊿x
因为 ⊿g / ⊿x = g ′ (x) ， ⊿f / ⊿x = f ′ (x) ， 于是 ，
= f (x) g ′ (x) + g (x) f ′ (x ) + f ′ (x) ⊿g ，
当 ⊿x -> 0 时， ⊿g -> 0 ， f ′ (x) ⊿g -> 0 ， 于是 ，
= f (x) g ′ (x) + g (x) f ′ (x )
= f ′ (x ) g (x) + f (x) g ′ (x)
即 [ f (x) * g (x) ] ′ = f ′ (x ) g (x) + f (x) g ′ (x) ， 也可以写成 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ 。
除 ：
[ f (x) / g (x) ] ′
= { f (x + ⊿x) / g (x + ⊿x) - f (x) / g (x) } / ⊿x ， ⊿x -> 0 (1) 式
先化简 f (x + ⊿x) / g (x + ⊿x) - f (x) / g (x) ， 通分相减 ，
= [ f (x + ⊿x) g (x) - f (x) g (x + ⊿x) ] / [ g (x + ⊿x) g (x) ] (2) 式
设 f ( x + ⊿x) = f (x) + ⊿f ， g ( x + ⊿x) = g (x) + ⊿g ， 于是 ，
f (x + ⊿x) g (x) - f (x) g (x + ⊿x)
= (f (x) + ⊿f ) g (x) - f (x) ( g (x) + ⊿g )
= f (x) g (x) + g (x) ⊿f - f(x) g(x) - f (x) ⊿g
= g (x) ⊿f - f (x) ⊿g
于是， (2) 式 = [ g (x) ⊿f - f (x) ⊿g ] / [ g (x + ⊿x) g (x) ]
于是， (1) 式 = (2) 式 / ⊿x
= { [ g (x) ⊿f - f (x) ⊿g ] / [ g (x + ⊿x) g (x) ] } / ⊿x
= { [ g (x) ⊿f - f (x) ⊿g ] / ⊿x } / [ g (x + ⊿x) g (x) ]
= { g (x) ⊿f / ⊿x - f (x) ⊿g / ⊿x } / [ g (x + ⊿x) g (x) ]
因为 ⊿f / ⊿x = f ′ (x) ， ⊿g / ⊿x = g ′ (x) ， 于是 ，
= { g (x) f ′ (x) - f (x) g ′ (x) } / [ g (x + ⊿x) g (x) ]
当 ⊿x -> 0 时， g (x + ⊿x) -> g (x) ， 于是 ，
= { g (x) f ′ (x) - f (x) g ′ (x) } / [ g (x) g (x) ]
= [ g (x) f ′ (x) - f (x) g ′ (x) ] / [ g (x) ] ²
= [ f ′ (x) g (x) - f (x) g ′ (x) ] / [ g (x) ] ²
即 [ f (x) / g (x) ] ′ = [ f ′ (x) g (x) - f (x) g ′ (x) ] / [ g (x) ] ² ，
也可以写成 ( u / v ) ′ = ( u ′ v - u v ′ ) / v ² 。
第 15 讲 ----------------------------------------------
根据 导数 四则运算 公式 推导 微分 四则运算 公式
常系数：
( k u ) ′ = k ( u ) ′ ， k 为 常数
d ( k u ) / dx = k * du / dx
约去 dx， d ( k u ) = k du
即 d ( k u ) = k du
加：
( u + v ) ′ = u ′ + v ′
d ( u + v ) / dx = du / dx + dv / dx
约去 dx， d ( u + v ) = du + dv
即 d ( u + v ) = du + dv
减：
( u - v ) ′ = u ′ - v ′
d ( u - v ) / dx = du / dx - dv / dx
约去 dx， d ( u - v ) = du - dv
即 d ( u - v ) = du - dv
乘：
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′
d ( u v ) / dx = du / dx * v + u * dv / dx
约去 dx， d ( u v ) = v du + u dv
即 d ( u v ) = v du + u dv
除：
( u / v ) ′ = ( u ′ v - u v ′ ) / v ²
d ( u / v ) / dx = ( du / dx * v - u * dv / dx ) / v ²
约去 dx， d ( u / v ) = ( v du - u dv ) / v ²
即 d ( u / v ) = ( v du - u dv ) / v ²
第 16 讲 ----------------------------------------------
在 第 10 讲 证明了 n > 1 时 的 导数公式 ( x^n ) ′ = n x^(n - 1) ， 根据这个 可以 推导 n > 1 时 的 微分公式 d ( x^n ) = n x^(n - 1) dx 。
( x^n ) ′ = n x^(n - 1)
d ( x^n ) / dx = n x^(n - 1)
dx 移项 到 等号右边， d ( x^n ) = n x^(n - 1) dx
即 d ( x^n ) = n x^(n - 1) dx ， n > 1
第 17 讲 ----------------------------------------------
证明 积分 加减运算 公式
加：
ʃ [ f (x) + g(x) ] dx = [ f ( 1 * x / n ) + g ( 1 * x / n ) ] * x / n + [ f ( 2 * x / n ) + g ( 2 * x / n ) ] * x / n + [ f ( 3 * x / n ) + g ( 3 * x / n ) ] * x / n + …… + [ f ( n * x / n ) + g ( n * x / n ) ] * x / n ， n -> 无穷
= f ( 1 * x / n ) * x / n + g ( 1 * x / n ) * x / n + f ( 2 * x / n ) * x / n + g ( 2 * x / n ) * x / n + f ( 3 * x / n ) * x / n + g ( 3 * x / n ) * x / n + …… + f ( n * x / n ) * x / n + g ( n * x / n ) * x / n
= [ f ( 1 * x / n ) * x / n + f ( 2 * x / n ) * x / n + f ( 3 * x / n ) * x / n + …… + f ( n * x / n ) * x / n ] + [ g ( 1 * x / n ) * x / n + g ( 2 * x / n ) * x / n + g ( 3 * x / n ) * x / n + …… + g ( n * x / n ) * x / n ]
= ʃ f (x) dx + ʃ g (x) dx
即 ʃ [ f (x) + g(x) ] dx = ʃ f (x) dx + ʃ g (x) dx
减：
ʃ [ f (x) - g(x) ] dx = [ f ( 1 * x / n ) - g ( 1 * x / n ) ] * x / n + [ f ( 2 * x / n ) - g ( 2 * x / n ) ] * x / n + [ f ( 3 * x / n ) - g ( 3 * x / n ) ] * x / n + …… + [ f ( n * x / n ) - g ( n * x / n ) ] * x / n ， n -> 无穷
= f ( 1 * x / n ) * x / n - g ( 1 * x / n ) * x / n + f( 2 * x / n ) * x / n - g ( 2 * x / n ) * x / n + f ( 3 * x / n ) * x / n - g ( 3 * x / n ) * x / n + …… + f ( n * x / n ) * x / n - g ( n * x / n ) * x / n
= [ f ( 1 * x / n ) * x / n + f ( 2 * x / n ) * x / n + f ( 3 * x / n ) * x / n + …… + f ( n * x / n ) * x / n ] - [ g ( 1 * x / n ) * x / n + g ( 2 * x / n ) * x / n + g ( 3 * x / n ) * x / n + …… + g ( n * x / n ) * x / n ]
= ʃ f (x) dx - ʃ g (x) dx
即 ʃ [ f (x) - g(x) ] dx = ʃ f (x) dx - ʃ g (x) dx
第 18 讲 ----------------------------------------------
证明 复合函数 求导 公式
y = f ( g(x) ) 是 一个 复合函数， 设 u = g (x) ， 则 y = f ( u )
y = f ( g(x) ) 的 导数 y ′ = dy / dx = dy / du * du / dx = f ′ (u) * g ′ (x)
即 y ′ = f ′ (u) * g ′ (x) ， 这就是 复合函数 求导公式 。
比如 求 y = ( x ² + 1 ) 开方 的 导数， 可以用 复合函数 求导公式 。
设 u = x ² + 1 ， y = ( u ) 开方 ，
y ′ = [ ( u ) 开方 ] ′ * (x ² + 1) ′
= 1/2 * 1 / ( u ) 开方 * 2x
= 1/2 * 1 / ( x ² + 1 ) 开方 * 2x
= x / ( x ² + 1 ) 开方
即 y ′ = x / ( x ² + 1 ) 开方
复合函数 求导公式 也可以称为 换元求导公式 。
微积分 运算公式 是 基于 导数 和 积分 推导出来的， 也就是 基于 dy / dx 和 ʃ f ( x ) dx 推导出来的， 是 dy / dx 和 ʃ f ( x ) dx 的 变形 和 组合 。
微积分 运算公式 的 典型应用 是 求积分 和 解微分方程 ， 广泛的， 也用于 求导数 、积分方程， 各种 微积分问题 或者说 数学分析问题， 比如 泛函 变分法 。