昨天在 数学吧 里 看到一个帖 《小学的寒假作业。。。我只会用函数做，求解》 http://tieba.baidu.com/p/6452046952 ， 以下 简称 《小》 帖 ，
帖 里 提出了 一道 题， 是 小学 的 寒假作业， 如图 ：
求 阴影面积 。 图中 红色 蓝色 的 字 和 辅助线 是 我加上的 。
在 《小》 帖 的 7 楼 有 网友 提出 几何解法， 作 辅助线 可 证明 三角形 AOB 和 ACB 全等， 故 阴影部分面积等于两扇形面积之和减两三角形之和 。
图 中 的 辅助线 就是 根据 他 的 说法 加 的 。 我们可以 试试 用 微积分 来 做做 这道题 。
如图， 以 正方形 左下角 顶点 O 为 原点， 两边 为 x 轴 y 轴 ， 建立 直角坐标系 。
设 阴影面积 为 S， 可以 把 S 看作是 由 许多 竖的 很窄 的 小矩形 组成， 写成 积分 ：
S = ʃ 小矩形面积
小矩形面积 = 高 * 宽 ， 宽 = dx， 高 = y上 - y下 ， y上 是 小矩形 上端点 的 y 坐标， y下 是 下端点 y 坐标 ，
y上 在 下面 B 点 为 圆心 的 半圆 圆弧 上， y下 在 上面 A 点 为 圆心 的 扇形 圆弧 上，
设 正方形 边长 为 a ， B 点 为 圆心 的 半圆 的 半径 为 a / 2， A 点 为 圆心 的 扇形 半径 为 a ， 可得
y上 = ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方
y下 = a - ( a ² - x ² ) 开方
小矩形的 高 = y上 - y下
= ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 - a + ( a ² - x ² ) 开方
S = ʃ 小矩形面积
= ʃ 高 * 宽
= ʃ [ ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 - a + ( a ² - x ² ) 开方 ] dx
这是 不定积分， 阴影面积 要求 x 在 [ 0, Xc ] 区间 上 的 定积分 ， Xc 是 C 点 的 x 坐标 。
C 点 是 y上 圆弧 和 y下 圆弧 的 交点， 用 解析法 求 C 点 坐标， 可以让 y上 = y下， 表示 两条 弧线 相交， 其中一个 交点 就是 C 。
( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 = a - ( a ² - x ² ) 开方 ，
两边去根号后， 这个 方程 看起来 是一个 高次方程， 这能 解 吗 ？ 这个方程 的 其中一个 解 就是 C 点 的 x 坐标 。
还可以 用 上文提到的 《小》 帖 7 楼 的 几何法 来 求 Xc， 如图 ， tan ∠ OAB = ( a / 2 ) / a = 1/2 ， 因为 ∠ CAB = ∠ OAB ， 所以 tan ∠ CAB = 1/2 ，
∠ OAC = ∠ OAB + ∠ CAB = arctan 1/2 + arctan 1/2 = 2 arctan 1/2 ，
因为 CD / AC = sin ∠ OAC = sin ( 2 arctan 1/2 ) ， 所以 CD = AC * sin ( 2 arctan 1/2 ) ， 因为 AC = a， Xc = CD， 所以 Xc = a * sin ( 2 arctan 1/2 ) 。
所以， 求出 S = ʃ [ ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 - a + ( a ² - x ² ) 开方 ] dx 在 [ 0, Xc ] 区间 上 的 定积分 就是 阴影面积 。
但问题来了， S = ʃ [ ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 - a + ( a ² - x ² ) 开方 ] dx 这个 积分 怎么求 ？
现在的 小学生 真厉害 啊 ！
解了一下 y上 y下 两条 圆弧 交点 的 方程 ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 = a - ( a ² - x ² ) 开方 ， 还真可以解 ：
代入 a = 4 ： ( 4 - ( 2 - x ) ² ) 开方 = 4 - ( 16 - x ² ) 开方
两边平方 ： 4 - ( 2 - x ) ² = 16 - 8 ( 16 - x ² ) 开方 + 16 - x ²
4 - ( 4 - 4x + x ² ) = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方 - x ²
4 - 4 + 4x - x ² = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方 - x ²
4x = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方
4x - 32 = - 8 ( 16 - x ² ) 开方
16 x ² - 256 x + 1024 = 64 ( 16 - x ² )
16 x ² - 256 x + 1024 = 1024 - 64 x ²
80 x ² - 256 x = 0 ，
根据 一元二次方程求根公式 ， x1 = 3.2 ， x2 = 0 ， x2 就是 C 点 x 坐标， 代入 y上 = ( ( a / 2 ) ² - ( a / 2 - x ) ² ) 开方 或者 y下 = a - ( a ² - x ² ) 开方 均可得到 y = 1.6 ，
所以， C 点 坐标 就是 x = 3.2 , y = 1.6 。
本文已 发到了 数学吧 《用 微积分 做 一道 小学生 寒假作业 题》 http://tieba.baidu.com/p/6456558619 ，
民科吧 《用 微积分 做 一道 小学生 寒假作业 题》 http://tieba.baidu.com/p/6456556886 。
数学吧 4 楼
wyx8904wyx8904 ：
