我前几天写过一篇文章 《关于 1 和 0.999999……》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11204496.html ，
今天又有了一些想法，所以接着记录一下 。
前几天在网上看到 网友 说 “你能找到一个数位于 0.999999…… 和 1 之间 吗？” ， 我首先的想法是 “不能” 。
但我昨天突然想到， 能啊， 0.00000……1 就是 位于 0.999999…… 和 1 之间 的 数 啊 。
进一步， 可以看到， 如果 1 和 0.999999…… 相等， 那么 0.999999…… 和 0.99999……8 相等， 0.99999……8 和 0.99999……7 相等 ， ……
所以 1 和 0.99999……7 相等， 1 和 0.99999……6 相等， …… ， 1 和 任何数 相等 。
所以， 所谓的 “实数系” 下 “证明” 1 和 0.9999…… 相等 只是 从 “实数系” 要 解决的 需求 场景 和 公设 出发，是 为 “实数系” 要 解决 的 问题 服务的，是 有 适用 范围 的，不是 普遍真理 。
实数系 证明 “1 和 0.9999…… 相等” 也只是 在 实数系 公理 下 的 结论， 从 软件 的 角度 讲， 看 需求 场景， 看 “实数系” 要 解决 什么 问题 。
说白了，这只是 数学 要 达到某些目的（解决某些问题） 推出的结果，在 问题 领域 内 可以 认为 相等，但 脱离 了 问题 领域，就另当别论 。
如果 咬死了 “数学 说 就是 相等”，那就是 思想闭塞 了 。
我不知道 “实数系” 是个 什么东西，但 说白了 这跟 极限 是 一个 原理， 就像 微积分里面，在 无穷 的 领域 用 1 来 等价代换 0.9999…… 。
我想 实数系 也是 用 这个 代换 来 解决 问题 的， 但是 自己 又 很尴尬 的 强行 去 做一个 证明， 这就 尴尬 了 。
我在 《关于 1 和 0.999999……》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11204496.html 中 已经 分析 的 很清楚，
“1 和 0.9999…… 相等” 的 实质 是 一个 等价代换， 这个 等价代换 发生在 无穷 的 情形 时， 无穷 的 情形 也可以说是 极限 的 情形 。
这个 原理 可以 称为 “K氏连续协变原理” 。
微积分 实数系 ， 一切 数学分支 和 场景， 如果 认为 / “需要” 1 和 0.9999…… 相等 ， 则 必然 服从 K氏连续协变原理 。
当然， 有 网友 说 我的 分析 不是 严格 的 数学证明， 这没关系 。
我的 分析 和 K氏连续协变原理 是 数理哲学 的 范畴 ，
可以 先在 数理哲学 的 层面 把握 事物 的 本质， 再 来 做 数学证明 。
K氏连续协变原理 中 提到了 “动态（dynamic）” 和 “静态（static）” 2 个 概念， 见 《关于 1 和 0.999999……》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11204496.html ，
这对于 分析把握 “1 和 0.9999…… 相等” 问题 以及 澄清 “1 和 0.9999…… 是否相等” 之争 有 重要意义 。
动态 和 静态 是 程序员 的 习惯用语， 数学高才生 们 就 心领神会 吧 。 哈哈哈 。
一定 要 从 动态 和 静态 的 角度 出发， 才能搞清楚 “1 和 0.9999…… 相等 / 不等” 的 意义 。
比如 我看到 一个 证明 “1 和 0.9999…… 相等” 的 证明 ：
1 / 3 = 0.3333…… （1 除以 3 等于 0.3333……） ， 所以 1/3 和 0.3333…… 相等，
或者， 1 / 9 = 0.11111…… （1 除以 9 等于 0.1111……） ， 因为 1 / 9 * 9 = 1 ， 而 1 / 9 = 0.11111…… ， 所以 0.1111…… * 9 = 1 ， 即 0.9999…… = 1 。
这是什么 逻辑？ ^^
这个 逻辑 是 有问题 的， 因为 不管 1 / 3 （1 除以 3） 还是 1 / 9 （1 除以 9）， 你 那个 除法 没 做完 啊，
你那个 除法 一直 都在做， 现在 我写文章 的 时候 在 做， 我写好了 文章 以后 还 在 做， 未来 也 一直 做， 没完没了 的 做， 永远 也 做不完， 既然 做不完， 就说 “相等” ， 这也太 心急 了 吧？
这就是 “动态” 。
如果 放到 希腊神话 里， 这个问题 可以 写成一个 神话段子，
宙斯 和 数学之神 赫尔墨斯 父子俩 讨论 数学问题， 宙斯 对 赫尔墨斯 说： “你用 1 除以 9， 当 你 完成 这个 除法 的 时候， 1 和 0.9999…… 就是 相等 的 。”
于是， 赫尔墨斯 就开始 做 1 除以 9 的 除法， 然后 就 一直做， 不停的做 ……
从 公元前 做到 今天， 做了 几千年， 也可以说是 几万年， 到 今天， 2019 年 8 月 2 号，
赫尔墨斯 停了下来， 对 宙斯 说：“父王， 我错了， 1 和 0.9999…… 是 不相等 的， 数 的 奥义 就像 神 的 智慧 一般 深广无尽， 我的 智慧 不能 穷尽 。”
所以， 要 从 动态 和 静态 的 角度 出发， 才能搞清楚 “1 和 0.9999…… 相等 / 不等” 的 意义 。
进一步， 可以发现， 0.3333…… 不是 1 / 3 的 准确值 。
因为 1 除以 3 除不尽， 所以 永远有一个 余数 1， 然后 继续 用 余数 1 除以 3， 然而 1 除以 3 是 除不尽 的， 所以， 1 除以 3 是 求不到 准确值 的 。
即使 无限 的 除下去， 余数 1 始终不能 被 3 整除， 所以 无法 求得 准确值 。
所以， 这不是 “无限” 就 “相等” 的 问题 。
1 / 3 的 准确值 和 0.3333…… 之间 永远 存在 一个 不可逾越 的 鸿沟 。
1 / 3 的 准确值 只有 1/3（三分之一） 这个 分数 才能 表示 。
再重复一遍， 余数 始终不能 被 整除， 这 表示 无法 获得 准确值 。
这 和 “ 因为 ‘无限’ ‘连续’ ‘极限’， 所以 ‘相等’ ” ， 是 两回事， 是 有 本质区别 的 。
什么是 准确值 ？ 余数 最终 被 整除 得到的 才是 准确值， 余数 不能 被 整除， 这是 哪门子 的 准确值 ？ 这个 值 和 准确值 之间 永远 存在 一个 不可逾越 的 鸿沟 。
举个例子， 对于 1 / 3 （1 除以 3）， 0.3 + 0.1 / 3 是 准确值， 0.33 + 0.01 / 3 是 准确值， 0.3333…… + 0.0000……1 / 3 是 准确值，
或者， 0.3 + 1 / 30 是 准确值， 0.33 + 1 / 300 是 准确值， 0.3333…… + 1 / 30000…… 是 准确值，
所以， 用 0.3333…… + 0.0000……1 / 3 或者 0.3333…… + 1 / 30000…… 和 0.3333…… 对比一下，
就知道 0.3333…… 不是 准确值 了， 并且 和 准确值 之间 永远 存在 一个 不可逾越 的 鸿沟 。
这很 清楚明了 。
所以， 到这里， 这实际上 已经 不是 一个 “动态” 的 问题 了， 这是一个 “静态” 的 问题，
由 1 / 3 （1 除以 3） 除不尽 这个 矛盾 就 决定 了 0.3333…… 不是 1 / 3 的 准确值 。
或者说， 由 1 / 3 （1 除以 3） 这个 除法 本身 就 决定 了 0.3333…… 不是 1 / 3 的 准确值 。
这是一个 静态 的 问题 。
0.3333…… * 3 = 0.9999…… 不等于 1， 但是 1/3 * 3 = 1 ， 还可以这样来看：
上面说了， 分数 1/3 （三分之一） 是 1 / 3 （1 除以 3） 的 准确值， 而 1/3（三分之一） 在 和 3 相乘 时， 分母 3 被 约分 约掉了， 所以得到的 积 是 准确值 1 。
分母 3 被 约掉， 表示 解除了 除不尽 这个 矛盾 。
所以， 说 1/3（三分之一） 和 0.3333…… 相等， 或者 用 0.1111…… * 9 = 0.9999…… 来 证明 0.9999…… 和 1 相等， 这是 偷换概念 。
偷换 什么 概念 ？
用 1/3 （三分之一） 替换 0.3333…… ， 用 1/9 （九分之一） 替换 0.1111…… ， 这 就是 偷换概念 。
0.3333…… 不是 1/3 （三分之一） 的 准确值 ， 这个 现象 可能很少有人察觉和发现 。
严格来说， 我们 从 小学 就开始用的 1 / 3 （1 除以 3） = 0.3333…… 这个 等式 的 等号 = ， 表示的是 一种 记数方法， 和 表示 准确值 相等 的 等号 = 是 有 区别 的 。
1 / 3 = 0.3333…… 这个 等式 作为一个 记数方法， 其实 保留（包含） 了 一个 除法因子 0.0000……1 / 3 ，
有了这个 除法因子 的话， 可以看到 ：
1 / 3 * 3 = ( 0.3333…… + 0.0000……1 / 3 ) * 3 = 0.9999…… + 0.0000……1 = 1
好的， 关于 1 和 0.9999…… 的 问题， 我们 就 先 讨论到 这里 。
说到这里， 我想起了 三清老师 的 一个 帖子 《连续、无限的奥秘》 http://tieba.baidu.com/p/6161245440 ，
不过 我也 建议 三清老师 系统 的 整理一下 自己的 学说， 比如 整理 到 博客 上 。
我支持 三清老师 ， 也 同情 三清老师 。 ^^
我喜欢 看到 各种各样 的 观点 ， 我 喜欢 看到 很多 各种各样 的 观点 在一起 争鸣 。 很多 各种各样 的 观点 在一起 争鸣 会 带来 知识 的 繁荣 和 进步发展 。
就像 春秋时期 的 “诸子百家 百家争鸣” 。 春秋 为什么 叫 “春秋” ？ 因为 春秋时代 就像 春天 和 秋天， 春华秋实 ， 百花盛开， 百花齐放， 繁花似锦， 繁华似锦 ， 生机盎然 。