KMP算法简单应用

K（看）M（毛）P（片）算法最常用在字符串匹配。给定一个长的字符串（target string）和一个短的字符串（pattern string）,要求判断pattern string是否是target string的子串，如果是，则返回子串的首个字符的下标；如果否，则返回-1。

解决这个问题最常想到的办法就是brutal force,即从target string第一个字符开始与pattern string比较，如果相等则比较target string和pattern string的下一个字符，如果不等则返回到target string中相等的字符的下一个字符。换句话说，假设我们用target和pattern分别表示两个字符串的指针，那么每一次比较不管两个string匹配到何种程度，只要不是完全匹配（即匹配完成），那么target永远只能增加1，这个算法的复杂度为O（mn）.(m=strlen(target string),n=strlen(pattern string)).

以下是这个算法的C代码。

int strstr(char *target, char *pattern)
{
　　int i,j;
　　for(i=0;;i++)
    {
        for(j=0;;j++)
        {
            if(pattern[j]==0)return i;
            if(target[i+j]==0)return -1;
            if(target[i+j]!=pattern[j])break;
        }
    }
}

导致这个算法时间复杂的关键，在于我们每次只能将target指针加一，而不能充分利用之前已匹配部分的信息。一个很好的例子由http://kenby.iteye.com/blog/1025599 给出，事实上我们可以通过利用已匹配部分的信息，让每次比较失败后target跳过多个位置。

下面给出KMP的代码再给出一些解释。

int* overlay(char *str)
{
    int *a,len=strlen(str),i,index;
    a[0]=-1;//美好的约定
    a=(int *)calloc(len,sizeof(int));
    for(i=1;i<len;i++)
    {
        index=a[i-1];//上一个
        while(index>=0&&a[index+1]!=a[i])
        {
            index=a[index];
        }
        if(a[index+1]==a[i])
        {
            a[i]=index+1;
        }
        else a[i]=-1;
    }
    return a;
}

int strstr(char *target,char *pattern)
{
    int i,j,*a,len1=strlen(target),len2=strlen(pattern);
    a=overlay(pattern);
    for(i=0,j=0;i<len1&&j<len2;)
    {
        if(target[i]==pattern[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else if(j==0)i++;//若第一个字符就不相等，则对target的指针加1即可
        else j=a[j-1]+1;
    }
    if(j==len2)return i-j;
    else return -1;
}

overlay函数是用递推求出pattern串每一个位置对应的覆盖值，算法在http://blog.csdn.net/power721/article/details/6132380有解释，不赘述。覆盖值数组的含义在上述博客中没有解释得很清楚，我举个例子。

首先假设这个字符串名为str。首字符的覆盖值是-1，这是约定。从第二个字符开始，我们看到b的覆盖值是-1，什么意思呢，意思就是在b之前的子串（包括b），不存在k满足str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[1-k]str[2-k]...str[1]。接下来，第三个字符a的覆盖值为0，表示在a之前的子串（包括a）,存在k=0使得str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[2-k]str[3-k]...str[2]。第五个字符b的覆盖值为1，表示在b之前的子串（包括b），存在k=1使得str[0]str[1]...str[k-1]str[k]=str[4-k]str[5-k]...str[4]。

至于overlay函数的递推求法，博客里有说明递推过程，我也是看了好一会才看清楚orz...下面配个图，图里中括号里面是相同的字符串，小括号里面也是相等的字符串，以此第三次，第四次一直往下找...大家才思敏捷，一定可以看得懂。

其余的东西在以上两篇博客都讲得很清楚，我也不再赘述。算法导论里有关于KMP算法摊还分析的一些证明，在不同的地方，上文所述的覆盖值的含义有可能有一点点差别，命名也有不同，但总的意思和算法都是差不多的。

部分代码参考了https://leetcode.com/problems/implement-strstr/?tab=Description