题解 HDU 6966 I love sequences

传送门

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【大意】

给定 (n) 和三个下标从 (1) 开始，长度为 (n) 的数列 (a, b, c)

对于整数 (p)， 我们构造数列 (displaystyle d_{p,k}=sum_{iotimes j=k}a_ib_j(1leq i, jleq{nover p}))

其中，位运算 (iotimes j) 表示 (i) 与 (j) 在三进制意义下按位取 (gcd)，即 (k_t=gcd(i_t, j_t))

现要求求出 (displaystyle sum_{p=1}^nsum_{k=1}^{+infty} d_{p, k}cdot c_p^k)

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【分析】

比较显然的广义FWT

前置推导知识参考本人博客 关于 FWT 的一些理解

需要构造三阶方阵使得 (T_{C(n, gcd(p,q)} )=T_{A(n, p)}T_{B(n, q)})

由于为三进制，故仅需寻找一种构造，使得：

(T_C=left( egin{matrix} T_{C(0,0)}&T_{C(0,1)}&T_{C(0,2)} \\ T_{C(1,0)}&T_{C(1,1)}&T_{C(1,2)} \\ T_{C(2,0)}&T_{C(2,1)}&T_{C(2,2)} end{matrix} ight)) 为可逆矩阵即可

具体推导过程见后文，这里直接给出一组解： (T_A=T_B=T_C=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&0&1 end{matrix} ight)) ，逆矩阵 (T_C^{-1}=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1 end{matrix} ight))

由此，对 (a,b) 的前 ({nover p}) 项提取出来，进行 FWT 变换为 (T_Aa,T_Bb) 后直接点积，求出 (T_Cd)

再由 (d=T_C^{-1}cdot T_Cd) 进行 UFWT 求出 (d) 数列

之后由秦九韶定理，可以 (O({nover p})) 直接跑出第二个求和符号内的结果

总时间复杂度为 (displaystyle T(n)=sum_{p=1}^n[O({nover p}log{nover p})+O({nover p})]=O(nlog^2 n))

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【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int MOD=1e9+7, MAXN=6e5+10;
inline int add(int a, int b) { return (a+=b)>=MOD?a-MOD:a; }
inline int dis(int a, int b) { return (a-=b)<0?a+MOD:a; }

int n, a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], d[MAXN], aa[MAXN], bb[MAXN];
inline void exFWT(int *a, int N, int flag){
    for(int i=1;i<N;i*=3) for(int S=0; S<N; ++S)
        if( (S/i)%3==0 ){
            int x=a[S], y=a[S+i], z=a[S+i+i];
            if(!flag){
                a[S+i+i]=add(x, z);
                a[S+i]=add(a[S+i+i], y);
                a[S]=x;
            }
            else{
                a[S]=x;
                a[S+i]=dis(y, z);
                a[S+i+i]=dis(z, x);
            }
        }
}
inline int calc(int n, int c){
    int N=1;
    while(N<=n) N*=3;

    for(int i=0;i<=n;++i) aa[i]=a[i]; for(int i=n+1;i<N;++i) aa[i]=0;
    for(int i=0;i<=n;++i) bb[i]=b[i]; for(int i=n+1;i<N;++i) bb[i]=0;
    exFWT(aa, N, 0); exFWT(bb, N, 0);
    for(int i=0;i<N;++i) d[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%MOD;
    exFWT(d, N, 1);

    int res=0;
    for(int i=0, bas=1;i<N;++i, bas=(ll)bas*c%MOD)
        res=add(res, (ll)bas*d[i]%MOD);
    return res;
}
inline int ans(){
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>c[i];

    int res=0;
    for(int p=n;p>=1;--p)
        res=add(res, calc(n/p, c[p]) );
    return res;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    while(cin>>n)
        cout<<ans()<<"
";
    cout.flush();
    return 0;
}

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【证明】

矩阵推导：

由 (T_{C(n, gcd(p,q)} )=T_{A(n, p)}T_{B(n, q)}) 可发现，每一个 (n) 之间都是独立的，故下文直接使用 (c_{gcd(p, q)},a_p,b_q) 等来简便表示

由 (gcd) 的运算得：

(egin{cases} c_0=a_0cdot b_0 \\ c_1=a_0cdot b_1=a_1cdot b_0=a_1cdot b_1=a_1cdot b_2=a_2cdot b_1 \\ c_2=a_0cdot b_2=a_2cdot b_0=a_2cdot b_2 end{cases})

若要使得 (T_C) 可逆，则 (T_C) 矩阵满秩，故 (c_0,c_1,c_2) 不能同时为 (0)

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由 (a_0cdot b_2=a_2cdot b_2) 得 (b_2cdot (a_0-a_2))，故 ((b_2=0)vee (a_0=a_2))

由 (a_2cdot b_0=a_2cdot b_2) 得 ((a_2=0)vee (b_0=b_2))

故 (c_2=a_0cdot b_2=a_2cdot b_0=a_2cdot b_2) 得：

((a_2=b_2=0)vee (b_0=b_2=0)vee (a_0=a_2=0)vee (a_0=a_2wedge b_0=b_2))

由于 (a_0=0vee b_0=0) 时 (c_0=c_1=c_2=0)，不满足

故仅解得 ((a_2=b_2=0)vee (a_0=a_2wedge b_0=b_2))

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由 (a_0cdot b_1=a_1cdot b_1=a_2cdot b_1) 得 (a_0=a_1=a_2vee b_1=0)

由 (a_1cdot b_0=a_1cdot b_1=a_1cdot b_2) 得 (a_1=0vee b_0=b_1=b_2)

故解得 ((a_0=a_1=a_2=0)vee (a_0=a_1=a_2wedge b_0=b_1=b_2)vee (b_1=a_1=0)vee(b_0=b_1=b_2=0))

同理扣去 (a_0=0) 与 (b_0=0) 的条件

仅解得 ((a_0=a_1=a_2wedge b_0=b_1=b_2)vee(a_1=b_1=0))

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联立条件 (a_2=b_2=0) 与 (a_0=a_1=a_2wedge b_0=b_1=b_2) 时，得到 (a_0=b_0=0) ，不合法

联立条件 (a_2=b_2=0) 与 (a_1=b_1=0) 时，得到 (a_1=a_2=0,b_1=b_2=0)，代入得到 (c_1=c_2=0,c_0=a_0cdot b_0)

取 (a_0=b_0=1) 得到一组解：(vec a=(1, 0, 0), vec b=(1, 0, 0), vec c=(1, 0, 0))

联立条件 ((a_0=a_2wedge b_0=b_2)) 与 ((a_0=a_1=a_2wedge b_0=b_1=b_2)) 时，得到 (c_0=c_1=c_2=a_0cdot b_0)

取 (a_0=b_0=1) 得到一组解：(vec a=(1, 1, 1), vec b=(1, 1, 1), vec c=(1, 1, 1))

联立条件 ((a_0=a_2wedge b_0=b_2)) 与 (a_1=b_1=0) 时，得到 (c_1=0, c_0=c_2=a_0cdot b_0)

取 (a_0=b_0=1) 得到一组解：(vec a=(1, 0, 1), vec b=(1, 0, 1), vec c=(1, 0, 1))

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综上，可构造出矩阵 (T_A=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&0&1 end{matrix} ight), T_B=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&0&1 end{matrix} ight), T_C=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 1&1&1 \\ 1&0&1 end{matrix} ight))

由 ((T_C|E)=left( egin{array}{ccc|ccc} 1&0&0& 1&0&0 \\ 1&1&1& 0&1&0 \\ 1&0&1& 0&0&1 end{array} ight) o left( egin{array}{ccc|ccc} 1&0&0& 1&0&0 \\ 0&1&0& 0&1&-1 \\ 0&0&1& -1&0&1 end{array} ight)=(Emid T_C^{-1}))

得到 (T_C^{-1}=left( egin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1 end{matrix} ight))