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线性同余方程
对于同余式 (axequiv b(mod m))
我们可以得知 (mmid (ax-b))
因此,设 (ax-b=-my)
从而得到 (ax+my=b)
由裴属定理,显然,方程有解的条件为 (gcd(a,m)mid b)
若满足上述条件,且 (ax'+my'=gcd(a,m))
则显然, (a({bover gcd(a,m)}x')+m({bover gcd(a,m)}y')=b)
我们记 (x_0={bover gcd(a,m)}x',y={bover gcd(a,m)}y')
则 (ax_0+my_0=b) 为该线性同余方程的一组解
而考虑 (a(x_0-mz_0)+m(y_0+az_0)=ax_0-amz_0+my_0+amz_0=ax_0+my_0=b,z_0in Z)
可发现,实际上,线性同余方程具有多组解:
(egin{cases} x=x_0-mz_0 \ \ y=y_0+az_0 \ \ z_0in Z end{cases})
线性同余方程的正数解
求出 (x_0,y_0) 后
(x) 取最小正整数时,若 (y) 仍娶不到正整数,则无解;否则就已经是满足了的一组解
令 (x=x_0-lfloor{x_0over m} floorcdot m) 则可保证 (x) 为满足条件的最小正数
故取 (z_0=lfloor{x_0over m} floor)
因此 (y=y_0+lfloor{x_0over m} floorcdot a)
即可进行判断