最大公约数、最小公倍数的两种求法

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公因数的性质

对于两个正整数 (a,b) ，若有另外一个正整数 (d) 满足 (dmid a) 且 (dmid b) 则称呼 (d) 为 (a,b) 的公因数

在 (a,b) 的所有公因数中，最大的被称呼为最大公因数，我们记为 ((a,b)) 或 (gcd(a,b))

最大公因数在质数分解上的性质

不妨设 (displaystyle a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}cdots p_m^{c_m},b=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}cdots p_m^{d_m})

其中， (forall c_i,d_iin N) 且 (c_i>0) 或 (d_i>0)

则 (displaystyle gcd(a,b)=p_1^{min(c_1,d_1)}p_2^{min(c_2,d_2)}p_3^{min(c_3,d_3)}cdots p_m^{min(c_m,d_m)})

先证明必要性：显然，满足这个式子的正整数 (g) 一定有 (gmid a) 且 (gmid b)

其次证明其充分性：首先，作为 (a,b) 的因数， (g) 不可能含有以上 (m) 个质数以外的质因数

因此，不妨设 (d=g imes p_i) ，其中， (p_i) 是上面任意一个质数

再不妨设 (c_i<d_i)

因此， (min(c_i,d_i)=c_i)

所以 (d) 中含有 ((c_i+1)) 个 (p_i) 质因子

故 (d mid a) 不为 (a,b) 公因数

原命题得证

最大公因数的因数的性质

可以证明：所有的公因数 (Leftrightarrow) 最大公因数的所有因数

证明：

我们记 (g=gcd(a,b)) 则显然 (gmid a,gmid b) 且不存在 (forall din Z,d>g) 且 (dmid a,dmid b)

我们先证明必要性：对于所有 (g) 的因数 (c) ，显然有 (cmid g) 。故 (cmid a,cmid b) 。因此 (c) 为 (a,b) 的公因数

充分性的证明我们考虑将 (g) 按质因数分解：

设 (displaystyle a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}cdots p_m^{c_m},b=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}cdots p_m^{d_m})

其中， (forall c_i,d_iin N) 且 (c_i>0) 或 (d_i>0)

则 (displaystyle gcd(a,b)=p_1^{min(c_1,d_1)}p_2^{min(c_2,d_2)}p_3^{min(c_3,d_3)}cdots p_m^{min(c_m,d_m)})

设 (dmid a,dmid b) 则若 (d=p_1^{e_1}p_2^{e_2}p_3^{e_3}cdots p_m^{e_m})

故一定有 (forall e_ileq c_i,e_ileq d_i)

即 (e_ileq min(c_i,d_i))

因此 (dmid g)

最大公因数的互质性质

若 (g=gcd(a,b)) 则 (gcd({aover g},{bover g})=1)

证明：(displaystyle a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}cdots p_m^{c_m},b=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}cdots p_m^{d_m})

其中， (forall c_i,d_iin N) 且 (c_i>0) 或 (d_i>0)

则 (displaystyle gcd(a,b)=p_1^{min(c_1,d_1)}p_2^{min(c_2,d_2)}p_3^{min(c_3,d_3)}cdots p_m^{min(c_m,d_m)})

( herefore egin{cases} {aover g}=p_1^{c_1-min(c_1,d_1)}p_2^{c_2-min(c_2,d_2)}p_3^{c_3-min(c_3,d_3)}cdots p_m^{c_m-min(c_m,d_m)} \ \ {bover g}=p_1^{d_1-min(c_1,d_1)}p_2^{d_2-min(c_2,d_2)}p_3^{d_3-min(c_3,d_3)}cdots p_m^{d_m-min(c_m,d_m)} end{cases})

故 (displaystyle gcd({aover g},{bover g})=prod_{i=1}^mp_i^{min( c_i-min(c_i,d_i),d_i-min(c_i,d_i) )}=prod_{i=1}^mp_i^{min(c_i,d_i)-min(c_i,d_i)}=prod_{i=1}^mp_i^0=1)

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公倍数的性质

对于两个正整数 (a,b) ，若有另外一个正整数 (m) 满足 (amid m) 且 (bmid m) 则称呼 (m) 为 (a,b) 的公倍数

在 (a,b) 的所有公倍数中，最小的被称呼为最小公倍数，我们记为 ([a,b]) 或 (lcm(a,b))

同上，可以证得：

1.若 (displaystyle a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}cdots p_m^{c_m},b=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}cdots p_m^{d_m})

其中， (forall c_i,d_iin N) 且 (c_i>0) 或 (d_i>0)

则 (displaystyle lcm(a,b)=p_1^{max(c_1,d_1)}p_2^{max(c_2,d_2)}p_3^{max(c_3,d_3)}cdots p_m^{max(c_m,d_m)})

2.范围内，所有的公倍数 (Leftrightarrow) 最小公倍数的所有倍数

额外的，可以证得如何用最大公因数求出最小公倍数：

设 (displaystyle a=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}cdots p_m^{c_m},b=p_1^{d_1}p_2^{d_2}p_3^{d_3}cdots p_m^{d_m})

其中， (forall c_i,d_iin N) 且 (c_i>0) 或 (d_i>0)

则 (displaystyle gcd(a,b)=p_1^{min(c_1,d_1)}p_2^{min(c_2,d_2)}p_3^{min(c_3,d_3)}cdots p_m^{min(c_m,d_m)})

其次，还有 (displaystyle lcm(a,b)=p_1^{max(c_1,d_1)}p_2^{max(c_2,d_2)}p_3^{max(c_3,d_3)}cdots p_m^{max(c_m,d_m)})

由于 (max(c_i,d_i)=c_i+d_i-min(c_i,d_i))

故 (displaystyle lcm(a,b)=prod_{i=1}^mp_i^{max(c_i,d_i)}=prod_{i=1}^mp_i^{c_i+d_i-min(c_i,d_i)}=prod_{i=1}^mp_i^{c_i}cdot prod_{i=1}^mp_i^{d_i}cdot(prod_{i=1}^mp_i^{min(c_i,d_i)})^{-1}={acdot bover gcd(a,b)})

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更相减损术

出自《九章算数》，算法过程如下：

当 (a eq b) 时，用大数减去小数，再比较这两数

重复上述操作，直至两数相等

所得数即为 (a,b) 的最大公因数

证明一下它的正确性：

我们在原算法的基础上再添一步： (a=b) 后， (a) 再减去一次 (b) ，此刻 (a=0,b) 为最大公因数

加上此步后，可以延拓至任意正整数 (n) 与 (0) 的最大公因数都为 (n)

记 (g=gcd(a,b),a=Ag,b=Bg) 则 (gcd(A,B)=1)

当 (a=b) 时 (A=B) 故 (A=B=1) 此时得到的为最大公因数

否则不妨设 (A>B) ，则 (a>b)

故 (a) 应该减去 (b) ，成为 ((A-B)g)

若此时 (a) 仍大于 (b) ，则进而成为 ((A-2B)g) ，重复执行后会成为 ((A\%B)g)

这里的证明过程我们先跳过，避免和下面辗转相除法重复

可证得，重复执行后，一定能使得较大的变为 (gcd(A,B)cdot g=g) ，较小的变为 (0)

下面是它的代码实现：

if(a<b) swap(a,b);
while(b!=0){
    a-=b;
    if(a<b) swap(a,b);
}

最坏情况下，输入 (n) 和 (1) ，复杂度为 (O(n))

优化

根据《九章算数》：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

若 (a,b) 同时为偶数时， (g) 翻倍，且 (a,b) 同时减半

若 (a,b) 一个为偶数时，为偶数的减半

这样既不影响计算，又可以加快运行速度：

int g=1;
while(a%2==0&&b%2==0) a/=2,b/=2,g*=2;
if(a<b) swap(a,b);
while(b!=0){
    a-=b;
    while(a%2==0&&b%2==0) a/=2,b/=2,g*=2;
    if(a<b) swap(a,b);
}
g*=a;

最坏情况下就是 (n=(2^k-1)) 与 (1) 时，复杂度 (O(log n))

当然，还会有其它的优化。由于和后者辗转相除法类似，就放到后面说了

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辗转相除法

辗转相除法，又名欧几里得算法，由古希腊数学家欧几里得（Euclid）提出

对于非零的数 (a) 与数 (b) （如果一个为零，另一个直接就是答案）

设 (g=gcd(a,b))

则 (gmid a,gmid b)

设 (a=kb+r,(0leq r<b))

故 (r=a\%b)

又由 (gmid a=gmid(kb+r),gmid bRightarrow gmid kb) 得 (gmid (a-kb)Rightarrow gmid r)

因此，(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b))

代码实现：

int gcd(int a,int b){ return b?a:gcd(b,a%b); }

非递归写法：

while(b!=0){
    int tmp=a%b;
    a=b;
    b=tmp;
}

考虑到非递归写法的实质是交换 (a,b) 并用交换后的 (b) 对 (a) 取模

故此可进一步写为：

while(b!=0){
    swap(a,b);
    b%=a;
}

又考虑到 swap 函数可以通过 a^=b^=a^=b 实现，且赋值语句返回值为所附值的 C++ 特性

最终压行为

if(!b) while(b^=a^=b^=a%=b);

复杂度均为 (O(log n))

优化

由于辗转相除法的复杂度已经较低，各个优化方案都只能优化常数

不过，幸运的是，这些优化方法对更相减损术也适用

同样用到《九章算术》提到的优化法，并加入二进制实现快速的乘除操作：

int g=1;
while(b!=0){
    while( (a&1)==0&&(b&1)==0 ) a>>=1,b>>=1,g<<=1;
    swap(a,b);
    b%=a;
}
g*=a;

还可以使用 lowbit 进行优化运算

其中 (lowbit(x)) 函数，为取数 (x) 的最低二进制位函数

如 (lowbit(6)=4,lowbit(34)=2)

在 C++ 中，可用 (x&(-x)) 实现

故引入 lowbit 优化运算：

int g=1;
while(b!=0){
    g*=Min(a&(-a),b&(-b));
    a/=(a&(-a));
    b/=(b&(-b));
    swap(a,b);
    b%=a;
}
g*=a;