考虑作者太懒了，博客里面的同余符号都用等号代替 qwq
威尔逊定理
威尔逊定理大概是这么个东西：
[(p-1)!=-1(mod ~~ p)
]
其中 p 当然是质数辣~
Proof
然后我们考虑证明？
首先：
[p-1=-1(mod ~~ p)
]
那么我们只需要证明 ((p-2)!=1 (mod~~ p)) 就好了...
也就是说，除去 1 后，如果 (2,3,...,p-2) 能够两两配对，且每对数乘积 模 p 后为 1 的话，威尔逊定理就成立了，然后我们考虑这其实就是对于 (2,3,...,p-2) 去找 模 p 意义下的逆元啊...
然后考虑一下二次剩余里面的衍生芝士我们可以知道对于 (x^2=1) 只有两个解（1，p-1），而这两个数已经被我们安排掉了，也就是说 (2,3,...,p-2) 中不存在某个数的逆元是自己本身...
然后我们还知道逆元有唯一性与互反性，于是乎这些数自然是一一对应的辣~
证毕！
Application
这个...显然可以用在阶乘求解上？
但是用途不广...可能可以用来优化快速阶乘？ XD
我们考虑这个式子已经成立了：
[(p-1)!=-1(mod ~~ p)
]
那么我们现在要求的是：
[n!~(mod ~~ p)
]
然后我们考虑威尔逊定理能怎么用进去...
（现在我们不考虑 (n=p-1) 或 (p-2) 的极端情况，(n=p-1) 时答案为 (p-1) ，(n=p-2) 时 答案为 (1) ，可特判）
首先：
[n! ·Big( (n+1)(n+2)...(p-1)Big) =-1(mod~~ p)
]
我们令 (p-n =x) ：
[n! ·Big( (p-x+1)(p-x+2)...(p-1)Big) =p-1(mod~~ p)
]
那么：
[egin{aligned}( n!)'=&(p-x+1)(p-x+2)...(p-2)\=&(-1)^{x-2}(x-1)(x-2)...(2)\=&(-1)^x (x-1)!\=& (-1)^{p-n}(p-1-n)! \=& (-1)^{n+1}(p-1-n)! end{aligned}
]
上面 (p-x+1) 变到 (x-1) 其实就是把负号提出来了...
然后我们发现只要求出 ((p-1-n)!) 然后乘上 ((-1)^n)
这样的优化...可能没什么用？但是也是优化就是了...