• 快速逆平方根


    快速逆平方根

    浮点数表示

    32位浮点数表示为:

    符号位 阶码 尾数
    s(1) e(8) m(23)

    [egin{align} E=127+e \ M = 10^{23}m \ \ end{align} ]

    得到浮点数为:

    [x=(-1)^s imes2^{e_x} imes(1+m_x) ]

    应用

    计算平方根倒数,即:

    [y=frac{1}{sqrt{x}} ]

    [y^2=frac{1}{x} ]

    对最开始的式子两边取对数

    [egin{align} log_{2}{y}=-frac{1}{2}log_{2}{x} \ log_{2}{y}=-frac{1}{2}[log_{2}{(1+m_x)}+e_x] end{align} ]

    对于(y=log_{2}{(1+m_x)})​​可以画出一个平滑的函数图像:

    image-20210802185506043

    因为 (m_x)​取值范围在((0,1))

    所以可以认为

    [y=log_{2}{(1+m_x)}approx{mx+b} ]

    image-20210802200326007

    这时需要计算出b的值来使得方差最小

    计算出来的b的值为:0.0430357

    所以原方程变为:

    [-frac{1}{2}log_{2}{(1+m_x)}+e=-frac{1}{2}(m_x+b+e_x) ]

    上述中左边(log_{2}{y})也展开,并带入前面浮点数公式得到最终式子:

    [egin{align} m_y+e_y+b=-frac{1}{2}(m_x+b+e_x) \ frac{M_y}{L}+b+E_y-Bapprox{-frac{1}{2}(frac{M_x}{L}+b+E_x-B)} \ M_y+LE_yapprox{frac{3}{2}L(B-b)-frac{1}{2}(M_x+LE_x)} end{align} ]

    所以最终的结果,用(I_y)来表示

    [I_yapprox{frac{3}{2}L(B-b)-frac{1}{2}I_x} ]

    float Q_rsqrt( float number ) {
      	long i;
      	float x2, y;
      	const float threehalfs = 1.5f;
      	x2 = number * 0.5f;
      	y  = number;
      	i  = * ( long * ) &y;  // evil floating point bit level hacking
      	i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
      	y  = * ( float * ) &i;
      	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
      	// y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
      	return y;
    }
    

    核心部分即为代码中第8行表示,也是著名的注释的由来

    精简版:

    float InSqrt(float x)
    {
    	float xhalf = 0.5f * x;
    	int i = *(int*)&x;
    	i = 0x5f3759df - (i>>i);
    	x = *(float*)&i;
    	x = x*(1.5f-xhalf*x*x);
    	return x; 
    }
    

    Reference

    计算机与数学 —— 雷神之锤3源码中的快速逆平方根算法

    20年前的几行代码竟如此牛逼?惊了

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/JoshuaYu/p/15091492.html
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